急急急，在线等。抽象代数题目，求第二题证明

Question

如题所述

Answer 1

1、设Cmn=<c>,因(m,n)=1故ms+nt=1,c=(c^n)^t*(c^m)^s。令H=<c^n>,K=<c^m>则上式表明G=HK。又H是m阶循环群，K是n阶循环群，(m,n)=1,所以o(H∩K)│(m,n)=1,故H∩K={e},于是G=H×K≌Cm×Cn
2只须证必要性。设H和K分别为m阶和n阶循环群，则G=H×K为mn阶循环,若G=<a>,则H=<a^n>，K=<a^m>,对G中任一元x=a^ns*b^mt=a^(ns+mt)∈a^d,这里d=(m,n)
于是G包含于<a^d>。若d≠1，则│<a^d>│<│G│矛盾，故d=(m,n)=1
3由665=5*7*19即得

Answer 2

举头望明月，低头思故乡。