f(x)在[0,+∞)有连续导数,f'(x)>=k>0,f(0)<0,证明 f(x)在(0,+∞)仅有一个零点

Question

答案上要我们思考。 若条件改为f'(x)>0结果会否有变化？会有变化吗

Answer 1

由拉格朗日中值定理知：

f(x)=f(0)+f'(c)*(x-0)>=f(0)+kx
任取一个X>=-f(0)/k>0，则f(X)>=0
由介值定理知：存在0<X'<X，使得f(X')=0
又因为f'(x)>0，所以X'是唯一的。

如果改成f'(x)>0就不能保证存在零点，比如f(x)=-1/(x+1)追问

最后一句不是很明白，有什么理论一句吗，怎么推？多谢

追答

你自己验证一下就行了啊。f'(x)=1/(x+1)^2>0，但是找不到k>0使得f'(x)>=k，这时f(x)在(0,+∞)不存在零点。