证明矩阵添加一列（行），则其秩或不变，或增加1 回答充分点

Question

如题所述

Answer 1

如果行向量中的极大线性无关组和增加的行向量组成新的极大无关组，秩就会增加，如果不是，秩则不变。

矩阵的秩就是其非零子式的最高阶数，假设R(A)=r，那么该矩阵中所有阶数超过r的子式全为零，并且至少存在一个r阶的非零子式，记为D。

矩阵增加一行或者一列后，新矩阵记为B，D也是B的一个子式，也就是说B中照样有一个r阶非零子式，因此R(B)>=r。

B的秩至少不会比A的秩小，但也不会增加太多，要么持平，要么顶多增加1，因为B才比A多了一行（列）。

扩展资料：

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

Answer 2

设a1,...,ar 是矩阵A的列向量组的一个极大无关组,A增加一列b变成矩阵B.
如果 a1,...,ar,b 线性无关,则 r(B)=r(A)+1.
如果 a1,...,ar,b 相关,r(B)=r(A).本回答被网友采纳