什么叫导数？偏导数又是什么？

Question

如题所述

Answer 1

偏导数就是导数。刚开始学的导数都是说，一个函数对自己的参数求导，参数唯一。当一个函数与很多参数有关，要求每个参数的变化就用到了偏导数。而偏微分是各个偏导数对本函数的贡献式子。你只记住一点，求偏导就是将其他的参数看成常数对待。而偏微分，举个例子就知道了：df=1dx+2dy+3dz.意义是1，2，3分别代表对x,y,z的偏导。f（x,y,z）是所求函数。

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

变化的速率

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。

Answer 2

假设你要开车从起点 A 到终点 B，这个过程可以用一个函数来描述，这个函数的自变量是时间 t，因变量是你的位置 x(t)。
那么导数就是在某一个时间点 t0，你的位置 x(t) 的变化率，也就是你的速度 v(t0)。如果你在某一时刻 t1 的速度比在时刻 t0 的速度更快，那么在这段时间内你的位置变化就会更快，因此你的速度就是位置变化的导数。
偏导数的例子可以是一个三维立体图形，比如一个山峰。这个山峰可以用一个函数来描述，这个函数的自变量是两个方向上的坐标 x 和 y，因变量是海拔高度 z(x,y)。
那么偏导数就是在某一个点 (x0,y0) 处，对于其中一个自变量（比如 x），另一个自变量保持不变，这个函数的变化率，也就是山峰在 x 方向上的坡度。