35．猜想、探索规律型
一、选择题
1．(2009年四川省内江市)如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20O，
再前进5米后又向右转20O，……，这样一直走下去，
他第一次回到出发点O时一共走了（ ）
A．60米 B．100米
C．90米 D．120米
【答案】C.
2．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（ ）粒。
A、 B、 C、 D、
【关键词】探索规律型
【答案】A
3．（2009年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数： ；
第2个数： ；
第3个数： ；
……
第 个数： ．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
【答案】A
4．（2009年孝感）对于每个非零自然数n，抛物线 与x轴交于An、Bn两点，以 表示这两点间的距离，则 的值是
A． B． C． D．
【答案】D
5．（2009年重庆）观察下列图形，则第 个图形中三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
6．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1
的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
【答案】C
二、填空题
1．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数
【答案】2008
2．（2009仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为________________．
【答案】
3．（2009年泸州）如图1，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1， ，…，则CA1= ，
【答案】 ， .
4．（2009年桂林市、百色市）如图，在△ABC中，∠A＝ ．∠ABC与∠ACD的
平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相
交于点A2，得∠A2； ……；∠A2008BC与∠A2008CD的平
分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝ ．
【答案】
5．(2009武汉)14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
【答案】46
6．（2009重庆綦江）观察下列等式：
；
；
；
…………
则第 （ 是正整数）个等式为________.
【答案】
7．(2009成都)已知 ，记 ， ，…， ，则通过计算推测出 的表达式 ＝_______．
(用含n的代数式表示)
【答案】
8．（2009年淄博市）如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是 ，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为 ．37S
【答案】37S
9．（2009年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需 根火柴棒.�
【答案】6n+3或9+6（n-1）
10（2009丽水市）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 ）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1= ▲ .
【答案】
11（2009恩施市）观察数表
根据表中数的排列规律，则字母 所表示的数是____________．
【答案】-10
12．（2009年广西南宁）正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．
【答案】420
13．(2009年牡丹江市)有一列数 …，那么第7个数是 ．
【答案】
14．（2009年广州市）如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第 个“广”字中的棋子个数是________
【答案】
15．（2009年益阳市）图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第 (n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．
-
【答案】3n+1
16．（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．
【答案】121
17．（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为 ，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 ．
【答案】 ．
18．（2009年日照）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线 (k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，
则Bn的坐标是______________．
【答案】( , ).
19．（2009年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：－ ， ，－ ， ，…，（a≠0）则第n个式子是_▲_（n为正整数）．
【答案】
20．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 ，则 ＝ ★ ． （用n的代数式表示 ）
【答案】
21．（2009肇庆）15．观察下列各式： ， ， ，…，根据观察计算： ＝ ．（n为正整数）
【答案】
22．(2009年湖州) 如图，已知 ， 是斜边 的中点，过 作 于 ，连结 交 于 ；过 作 于 ，连结 交 于 ；过 作 于 ，…，如此继续，可以依次得到点 ，…， ，分别记 …， 的面积为 ，… .则 =________ （用含 的代数式表示）.
【答案】
23．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．
【答案】3
24．（2009年湖北荆州）13．将四张花纹面相同的扑克牌的花纹面都朝上，两张一叠放成两堆不变．若每次可任选一堆的最上面的一张翻看（看后不放回），并全部看完，则共有 种不同的翻牌方式．
【答案】
25．（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 ¬¬¬__________块，第 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含 的代数式表示）．
【答案】10，
26．（2009年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第 个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．
【答案】
27．（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形 中， ．连结对角线 ，以 为边作第二个菱形 ，使 ；连结 ，再以 为边作第三个菱形 ，使 ；……，按此规律所作的第 个菱形的边长为 ．
【关键词】菱形的性质与判定
【答案】
28．(2009年本溪)16．如图所示，已知：点 ， ， 在 内依次作等边三角形，使一边在 轴上，另一个顶点在 边上，作出的等边三角形分别是第1个 ，第2个 ，第3个 ，…，则第 个等边三角形的边长等于 ．
【答案】
29．观察下表，回答问题：
序号 1 2 3 …
图形
…
第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．
【答案】20
30．（2009年绵阳市）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 670 行第 3 列．
第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3
第2行 6 5 4
第3行 7 8 9
第4行 12 11 10
……
【答案】670，3
31．（2009年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形需要黑色棋子的个数是 ．
【答案】 或 或
32．（2009年青海）观察下面的一列单项式： ， ， ， ，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第 个单项式为
【答案】 ；
33．（2009年龙岩）观察下列一组数： ， ， ， ，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k个数是 ．
【答案】
34．(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第 个图中最小的三角形的个数有 个．
35． (2009年梅州市)如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．
三、解答题
1．（2009仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE‖BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝ BD，EN＝ CE，得到图③，请解答下列问题：
(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
(2)若AB＝k•AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
【答案】解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC.
（2）AM= AN，∠MAN=∠BAC.
2．（2009年台州市）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则
① ；②第 行第 列的数为 （用 ， 表示）．
第 列 第 列 第 列 … 第 列
第 行 1 …
第 行 …
第 行 …
… … … … … …
【答案】10， （第一空2分，第二空3分；答 给3分，答 给2分）
3．（2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD‖BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．
【答案】（1）BE=AF；
（2）猜想∠BPF=120° .
4．（2009恩施市）宽与长之比为 ∶ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图9，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
【答案】解: 留下的矩形CDFE是黄金矩形 。
5．（2009白银市）29．本试卷第19题为：若 ， ，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．
【答案】29．解：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分．
若m、n是任意正整数，且m＞n，则 ．
若m、n是任意正实数，且m＞n，则 ．
若m、n、r是任意正整数，且m＞n；或m、n是任意正整数，r是任意正实数，且m＞n，则 ．
若m、n是任意正实数，r是任意正整数，且m＞n；或m、n、r是任意正实数，且m＞n，则 ．
6．（2009年衢州）如图，AD是⊙O的直径．
(1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 ，∠B2的度数是 ；
(2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，
∠B3的度数；
(3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．
【答案】解：(1) 22.5°，67.5°
(2) 45°， 75°．
(3) ．(或 )
7．（2009年安徽）19．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长 cm，其一个内角为60°．
（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
【答案】（1）6010 cm（2）需300个这样的菱形图案．
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