已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD,垂足为点E,点F在BD上,连接AF、EF。 ⑴求证:AD=ED;⑵如果AF//CD,求证:四边形ADEF是菱形。
证明:(1)∵BC=CD, ∴∠CDB=∠CBD, ∵AD//BC, ∴∠ADB=∠CBD, ∴∠ADB=∠CDB, 又∵AB⊥AD,BE⊥CD, ∴∠BAD=∠BED=90°, 于是,在△ABD和△EBD中, ∵∠ADB=∠CDB,∠BAD=∠BED,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD, ∴AD=ED; (2)∵AF//CD, ∴∠AFD=∠EDF, ∴∠AFD=∠ADF,即得AF=AD, 又∵AD=ED, ∴AF=DE, 于是,由AF//DE,AF=DE, 得四边形ADEF是平行四边形, 又∵AD=ED, ∴四边形ADEF是菱形。 |