为什么说n+1个n维向量必线性相关，怎么理解啊？

Question

如题所述

Answer 1

以n+1个n维向量作为列向量构成的矩阵的秩不超过n

(矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个)

所以 r(A)<=n

所以 A 的列向量组的秩 <= n

即 n+1个n维向量 的秩 <=n

故线性相关。

扩展资料：

矩阵的秩：

引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

定理矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理初等变换不改变矩阵的秩。

定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料：百度百科-矩阵的秩

参考资料：百度百科-  线性相关

参考资料：百度百科-矩阵（数学术语）

Answer 2

第一：如果n维向量已经线性相关，再加一个n维向量也不影响相关性，新加的这个n维向量前面系数取零就行，整体还是线性相关的
第二：如果n维向量线性无关，再加一个n维向量，可以理解为：n维矩阵由含有n个方程n个未知量的的齐次方程组构成，这个方程组的有效方程（矩阵的秩）也是n（因为n维向量都线性无关），所以这个时候加入一个n维向量，会导致未知量比方程数多了一个，显然加入这个n维向量后也不可能再增加有效方程的个数了，已经是矩阵的行数（最大了），所以这个时候方程组就有无穷多解，那就说明有无穷多的常数可以使方程成立，即向量线性相关了

Answer 3

从方程角度理解就是n加1和n个未知量的方程组必然不是独立方程组。从秩的角度理解就是，该矩阵的秩一定小于n+1。一般考向量除了向量本身定义之外就从这俩角度理解了。追问

院士，你好

是不是可以说n个方程，有n+1个未知数，没有解？

追答

哈哈，我可不是院士😄，不可以说n个方程没有解，维数对应未知数，不要混淆，而且n个方程n+1个未知数是有无数个解不是没有解

追问

那可以说n+1个方程，有n个未知数，没有解吗

追答

讲法不对，这叫有无穷多解，不是没有解

追问

谢谢

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Answer 4

好像很多人有这个问题，我记得我在学的时候也有这个问题。我是先学习向量组的秩再学矩阵的秩的，当然学完矩阵的秩这个问题就不难回答了，因为有“矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个”这个结论。
当然，仅仅使用向量知识也能回答。n维规范正交向量（也就是e1，e2，…，en）可以表示所有n维向量组成的向量组，所以所有n维向量组成的向量组秩为n，所以n+1维向量（必定在所有n维向量包括中）的秩小于等于n，必然线性线性相关
再简单点说，个数大于维数。需要正真理解向量秩的含义！

Answer 5

你把它转化为方程就知道了，两个方程解3个未知数，方程没有唯一解，所以系数行列式必定为0，则推出向量线性相关!