分部积分法求不定积分……谢谢了

Question

如题所述

Answer 1

第1题：
∵∫e^（－x）·cosxdx
＝∫e^（－x）d（sinx）
＝e^（－x）·sinx－∫sinxd［e^（－x）］
＝e^（－x）·sinx＋∫e^（－x）·sinxdx
＝e^（－x）·sinx－∫e^（－x）d（cosx）
＝e^（－x）·sinx－e^（－x）·cosx＋∫cosxd［e^（－x）］
＝e^（－x）·sinx－e^（－x）·cosx－∫e^（－x）·cosxdx，
∴2∫e^（－x）·cosxdx＝e^（－x）·sinx－e^（－x）·cosx，
∴∫e^（－x）·cosxdx＝（1/2）（sinx－cosx）/e^x＋C。

第2题：
∵∫sin（lnx）dx
＝xsin（lnx）－∫xd［sin（lnx）］
＝xsin（lnx）－∫xcos（lnx）d（lnx）
＝xsin（lnx）－∫cos（lnx）dx
＝xsin（lnx）－xcos（lnx）＋∫xd［cos（lnx）］
＝xsin（lnx）－xcos（lnx）－∫xsin（lnx）d（lnx）
＝xsin（lnx）－xcos（lnx）－∫xsin（lnx）dx，
∴2∫sin（lnx）dx＝xsin（lnx）－xcos（lnx），
∴∫sin（lnx）dx＝（1/2）x［sin（lnx）－cos（lnx）］＋C。

第3题：
∵∫x^2·［cos（x/2）］^2dx
＝（1/2）∫x^2（1＋cosx）dx
＝（1/2）∫x^2dx＋（1/2）∫x^2cosxdx
＝（1/6）x^3＋（1/2）∫x^2cosxdx，
又∫x^2cosxdx
＝∫x^2d（sinx）
＝x^2·sinx－∫sinxd（x^2）
＝x^2·sinx－2∫xsinxdx
＝x^2·sinx＋2∫xd（cosx）
＝x^2·sinx＋2xcosx－2∫cosxdx
＝x^2·sinx＋2xcosx－2sinx＋C，
∴∫x^2·［cos（x/2）］^2dx＝（1/6）x^3＋（1/2）x^2·sinx＋xcosx－sinx＋C。

Answer 2

还没学