二次函数的解法
一、知道三个点
可设函数为y=ax^2+bx+c,把三个点代入式子得出三个方程,就能解出a、b、c的值。
二、知道函数图象与x轴的交点坐标及另一点
可设函数为y=a(x-x₁)(x-x₂),把第一个交点的x值代入x1中,第二个交点的x值代入x2中,把另一点的值代入x、y中求出a。
三、使用韦达定理一元二次方程
韦达定理一元二次方程即
设ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)
两个根为X₁和X₂
则X₁+X₂= -b/a
X₁·X₂=c/a
例:已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10),设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2 四、牛顿插值公式y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式
y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x₁,0)和 B(x₂,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0]
由一般式变为交点式的步骤:
二次函数(16张)
∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
二次函数与X轴交点的情况
当△=b^2-4ac>0时, 函数图像与x轴有两个交点。
当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。
当△=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
求根公式
x是自变量,y是因变量,y是x的二次函数
x1,2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法还有因式分解法和配方法
图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
注意:草图要有
1. 本身图像,旁边注明函数。
2. 画出对称轴,并注明直线X=什么 (X= -b/2a)
3. 与X轴交点坐标 (x1,y1);(x2, y2),与Y轴交点坐标(0,c),顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当h=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)
a,b同号,对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²;+k
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)
注意:顶点坐标为(h,k) 与y轴交于(0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时,二次函数图像与x轴有1个交点。
a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。
当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymix=k,在x>h范围内事增函数,在x<h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k
当a=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+ah2+2ah+a
②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k
③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k
④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
8.定义域:R
值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)
奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 。
周期性:无
解析式:
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b²)/4a);
⑷Δ=b2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
特殊地,Δ=4,顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形;Δ=12,顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。
②y=a(x-h)2+k[顶点式]
此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X
的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连 用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
增减性
当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反
当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反
是否可以解决您的问题?
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考