0不是无穷小,0是一个实常数,而无穷小是指无限趋近于0的一个变量,两者的概念完全不同。
无穷小在极限的计算过程中有时可以直接替换成0,有时则不可以。
0可以直接替换的情况:
1、无穷小只参与加减运算。
2、无穷小参与乘法运算,但被它们乘上的代数表达式是有界的,它们只参与加法、减法和乘法之外的运算。
3、其他情况,不使代数表达式无意义,不加、减、除与无穷大。
不能直接代入0的情况:
1、无穷小涉及乘法,乘法的代数公式是无限的。
2、无穷小参与除法运算,除数也是无穷小。
3、其他使代数表达式的分母中出现0而使其失去意义的情形。
注意事项:
1、无穷小不是一个数字,它是一个变量。
2、0可以是无限小量的唯一常数。
3、无穷小的量与自变量的趋势有关。
4、有限的无穷小量的和仍然是无穷小的。
5、一个有限的无穷小的乘积仍然是无穷小。
6、一个有界函数和一个无限小的量的乘积是一个无限小的量。
7、特别地,一个常数和一个无穷小的量的乘积是一个无穷小的量。
8、无穷小常数的倒数不是零是无穷大,无穷大的倒数是无穷小。
0是无穷小,
无穷小要满足的条件为:是函数,极限为0
而0可以看作为一个常数函数,并且0的极限也是0,故满足无穷小的条件,所以0就是无穷小,是一个与自变量趋向无关的无穷小,不要被所谓的0是常数而误导了
但无穷小不一定是0,因为存在其他函数在自变量有某个趋向时为无穷小,例如:α = 3(x - 1)^2,当 x -> 1 时,α 为无穷小