单调函数的严格性

Question

比如函数f(x)=X^3,当X为0时导数是0，那它是“严格”单调递增的吗

Answer 1

严格单调递增的定义为：
任意a<x1<x2<b，均有f(x1)<f(x2)
则称f(x)在(a,b)上严格单调递增的

定义中没有用到导数，导数可以作为分析单调性的工具，但导数为零时分析不出单调性，要重新从定义入手。
这里x1<x2时
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2)
x1,x2不可能同时为零，因此x1^2+x1*x2+x2^2>0
从而f(x1)-f(x2)<0
因此我们确实得到f(x)是严格单调递增的

事实上，递增的函数如果导函数存在，那么导函数非负，在这个条件下
非严格的充分必要条件是导函数在一个区间上连续地等于零，此时函数值在这一区间上不发生变化

希望对你有帮助！