已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数：g(x)=f(x)-ηx。
若g(a)=g(b)，则由罗尔中值定理：存在ε∈(a,b)使g'(ε)=0。
不妨设g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。
由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。
又由罗尔中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。
所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。
扩展资料
若定义在区间上的一元函数处处可微，则它的导函数必是达布连续的，即在这个区间的任意两点的导数之间的数，必是该函数在这两点之间的某个点的导数。
这种情形的达布定理又称导数介值定理.根据这个定理，若f：[a，b]→R在[a，b]上可微，则f′没有第一类间断点;特别地，若f′没有零点，则f′不变号，换句话说，在f′的两个相邻零点间f必严格单调。
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