微分和导数分别求什么问题的

Question

1.微分和导数的本质区别是什么
2.假设质点沿x轴运动的速度为dx/dt=f(x),就质点运动的加速度.答案为什么是 f(x)×f(x)求导

Answer 1

1、微分是指各个变量的微小变化,如dx、dy、dz.
导数是值微分的比值,如dy/dx,dz/dx,dx/dz.导数又叫做微商,就是这个原因.
导数的另一个意思是相对变化率：
dy/dx:是x的变化,引起y的变化,
dy/dx就是为就是相关变化率,
就是相对变化率,就是牵连变化,
在几何图形上是斜率
dx/dt:是t的变化,引起x的变化,
dx/dt就是为就是相关变化率,
就是相对变化率,就是牵连变化,
在几何图形上是斜率,
在物理上是速度(x是坐标,不是位移).
2、导数跟微分无法分开：
u = f(x,y)
x的变化会dx引起u的变化du；
y的变化也会引起u的变化du;
同时变化一样引起u的变化du.
这里的dx,dy,du都是微分
du=(∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy
(∂u/∂x)是u对x的导数,由于x不是唯一的变量,所以称为对x的偏导数；
(∂u/∂y)是u对x的导数,由于x不是唯一的变量,所以称为对y的偏导数.
3、可导就是可微,可微就是可导.
只是侧重点不一样：
可微侧重在微量变化的大小；
可导侧重在变量之间的函数关系.
工业上的误差估计：Δy=(dy/dx)Δx
既涉及可导,也涉及可微.
圆柱体积公式：V=πr²h
体积相对误差为：ΔV/V=2Δr/r+Δh/h
涉及的的是可导