5.设随机变量 X～U[0,1] ,求随机变量 Y=e^X 的概率密度.

Question

如题所述

Answer 1

我们可以使用变量变换法来求解。设变量变换为Y=g(X)=e^X，那么反函数为X=g^(-1)(Y)=ln(Y)，其导数为g'(X)=e^X。根据变量变换法，有：
f_Y(y) = f_X(g^(-1)(y)) * |(d/dy)g^(-1)(y)|
其中，f_X(x)是X的概率密度函数，|(d/dy)g^(-1)(y)|是反函数的导数的绝对值。由于X ~ U[0,1]是均匀分布，其概率密度函数为f_X(x)=1，因此有：
f_Y(y) = f_X(g^(-1)(y)) * |(d/dy)g^(-1)(y)|
= 1 * |(d/dy)ln(y)|
= 1/y
因此，随机变量Y=e^X的概率密度为f_Y(y)=1/y，其中y∈(0,1]。