如何证明等腰直角三角形ABC是等腰直角三角形。

Question

如题所述

Answer 1

1.
已知Rt△ABC中，BC=2cm，cotA=AC/BC=2
所以，AC=4cm
已知∠ACB=90°，所以由勾股定理得到：AB=√(4^2+2^2)=2√5
已知点P的运动速度为√5cm/s，点P在线段AB上移动，且不与A、B重合
所以，0＜t＜2
点P的运动时间为t，则AP=√5t
如图，过点P作AC的垂线，垂足为E
因为∠ACB=90°
所以，Rt△AEP∽Rt△ACB
则，AP/AB=AE/AC=PE/BC
所以：(√5t)/(2√5)=AE/4=PE/2
所以，AE=2t，PE=t
那么，CE=4-2t
所以，S△CPE=(1/2)*PE*CE=(1/2)*t*(4-2t)=-t^2+2t
在Rt△CPE中由勾股定理得到：CP^2=PE^2+CE^2=t^2+(4-2t)^2
=5t^2-16t+16
而，Rt△BCD∽Rt△CPE
所以：S△BCD/S△CPE=BC^2/CP^2=4/(5t^2-16t+16)
===> S/(-t^2+2t)=4/(5t^2-16t+16)
===> S=(-4t^2+8t)/(5t^2-16t+16)（0＜t＜2）

2.
△PCB是以CP为腰的等腰三角形，所以：
①当CP=BC=2时：
===> CP^2=5t^2-16t+16=4
===> 5t^2-16t+12=0
===> (5t-6)*(t-2)=0
===> t1=6/5，t2=2（舍去）
则此时S=(-4t^2+8t)/(5t^2-16t+16)
=[(-4)*(t^2-2t)]/4
=-t^2+2t
=-(6/5)^2+(12/5)
=24/25
②当PC=PB时：
因为△ACB为直角三角形，所以此时点P为AB中点
则，AP=PB=√5t=√5
所以，t=1
则，S=(-4t^2+8t)/(5t^2-16t+16)=(-4+8)/(5-16+16)=4/5.