平面上有n个不全在一条直线上点。求证：总可以找到一条直线L，使它只通过n个点中的两个点。

Question

小学奥数题，要小学生听得懂的

Answer 1

证明：任给平面上不全共线的n>=3个点，一定存在恰好通过其中两个点的直线。
刚看到这到题的时候还真不知道怎么动手，从两个点开始加点构造，似乎也找不到明显的规律，看来正面构造是不行的，那反过来构造所有直线都通过至少两个点的情况，试了半天也找不到，而且也是随着点的增加越来越复杂，怎么办呢？这也难怪解决它花了半个世纪。
其实这是在1893年开始流传的一道平面几何难题，看起来并不难，但历时40多年才被人证明。从下面介绍的证明方法看它其实是一道很简单的几何问题（我觉得它可能和我们印象中的几何题可能很不一样啊！），竟能困惑数学家如此之久，真是不可思议。
证明是出奇的简单而巧妙。对平面上给定的n个不共线的点，过其中的任意两点作直线L。因为所给的点不全在同一条直线上，所以L外必有其他的给定点。记L外的点a到L的距离为p（a，L）。由于所给的定点只有n个，过其中任意两点也只能作有限条直线，因此仅有有限多个距离p（a，L），从而有通过某两个点的直线L0以及L0外的某个定点a0使得距离p（a0,L0）最小。下面将证明L0就是所求的直线，亦即L0上恰好有两个给定的点。
如果L0不是，设三个不同的定点a1,a2,a3在直线L0上。从a0做到L0的垂线，高相应的垂足为点h, 此时三个定点a1,a2,a3中至少有两个点在垂足h的同一侧（包含与h重合的情况），不妨设a1和a2在h的同侧，且a1位于h和a2之间。
现在，过a0和a2作直线L1。显然点a1不在直线L1上，并且p（a1，L1）<=p（h，L1）<=p（a0，L0），矛盾，因为已知p（a0,L0）是最小的。这就证明了直线L0恰好通过两个给定的点。

网上找的，够难的。

Answer 2

采用极限的思想，将这n个点两两连接，得到m条直线，然后分别过这n个点做到这m条直线中，除掉点自身所在直线以外的其他所有直线的距离，因为点是有限个点，所以这些距离也是有限个的，所以一定有一个距离最短，不妨设点P到直线AB的距离h是以上所有距离中最短的，如果直线AB不止过A、B这两个点，不妨设还过C点（可设C点位于AB线段上），那么可过C分别做直线AP，BP上的高h1、h2，因为h最短，所以h1>h且h2>h，所以AP*h1+BP*h2>(AP+BP)*h>AB*h（三角形两边之和大于第三边），这与AP*h1+BP*h2=AB*h=2倍三角形ABP的面积矛盾，所以直线AB上不存在C点，直线AB只经过AB两点，（如果C点在AB的延长线上，可过B点做直线AP，CP上的高h1，h2，同理可得直线AC上不存在B点） ，所以必有一条直线只经过这n个点中的2个点。

Answer 3

平面上任意两点可连成直线，这句话足可证明。

Answer 4

两点确定一条直线