线性代数题，求大神详细解答，只要第29题

Question

如题所述

Answer 1

29 增广矩阵 (A, b) =
[1 1 2 3 1]
[1 3 6 1 3]
[3 -1 -a 15 3]
[1 -5 -10 12 b]
行初等变换为
[1 1 2 3 1]
[0 2 4 -2 2]
[0 -4 -a-6 6 0]
[0 -6 -12 9 b-1]
行初等变换为
[1 0 0 4 0]
[0 1 2 -1 1]
[0 0 -a+2 2 4]
[0 0 0 3 b+5]
当 a ≠ 2 时， |A| ≠ 0， 方程组有唯一解。
当 a = 2 时， 行初等变换为
[1 0 0 4 0]
[0 1 2 -1 1]
[0 0 0 1 2]
[0 0 0 0 b-1]
当 a = 2， b ≠ 1 时，r(A) = 3, r(A, b) = 4， 方程组无解。当 a = 2， b = 1 时，r(A) = r(A, b) = 3 < 4， 方程组有无穷多解。
此时，行初等变换为
[1 0 0 0 -8]
[0 1 2 0 3]
[0 0 0 1 2]
[0 0 0 0 0]
方程组同解变形为
x1 = -8
x2 = 3 - 2x3
x4 = 2
取 x3 = 0, 得特解 (-8, 3, 0, 2)^T,
导出组即
x1 = 0
x2 = - 2x3
x4 = 0
取 x3 = 1, 得基础解系 (0, -2, 1, 0)^T,
则原方程组的通解是
x = (-8, 3, 0, 2)^T + k(0, -2, 1, 0)^T
其中 k 为任意常数。