如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求

Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠CEF=75°，CF= ，求△AEF的面积．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2.

试题分析：（1）连接PC．根据直角三角形的性质可得PC= EF=PA．运用“SSS”证明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP； （2）作PH⊥CF于H点．分别求DF和PH的长，再计算面积．设DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，运用勾股定理可求DF；根据三角形中位线定理求PH． 试题解析：（1）证明：连接PC． ∵ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD． ∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE=∠DAF，AE=AF． ∴∠EAF=∠BAD=90°． ∵P是EF的中点， ∴PA= EF，PC= EF， ∴PA=PC． 又∵AD=CD，PD=PD（公共边）， ∴△PAD≌△PCD，（SSS） ∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC； （2）由（1）知△EAF是等腰直角三角形， ∴∠AEF=45°， ∴∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°， ∵设BE=x． ∴ ， ． 又 ， 则 . 解之，得 ∴ ∴