第1个回答 2017-12-24
是充要条件。证明如下:
充分性:由AB是正定矩阵推出AB为对称矩阵,故(AB)'=AB, (A'表示A的转置)
又A,B也都是对称矩阵,因此 (AB)'=B'A'=BA
所以 AB=BA。
必要性:由于A,B正定所以有可逆矩阵P、Q使得A=P‘P,B=Q’Q,
x‘Ax=x’P‘Px=(Px)’Px=(Px)^2>0,x‘Bx=(Qx)’Qx=(Qx)^2>0,
x‘ABx=x’P‘PQ’Qx,
AB=BA时,(AB)'=(P‘PQ’Q)‘=Q’QP‘P=BA=AB,说明AB是对称矩阵,Q(AB)Q^-1=QP'PQ'QQ^-1=QP'PQ'=(PQ')'PQ',
由于PQ'为可逆矩阵,因而(PQ')'PQ'是正定矩阵。
令其为矩阵C,Q^-1CQ=AB,即AB相似于一正定矩阵,由此可以得出AB的所有特征值全部大于0,AB又是对称矩阵,故AB是一正定矩阵。本回答被网友采纳