定义域为r的函数例题

Question

函数,数列的一道题
设定义域为R的函数y=f(x)满足条件f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=0,数列an的前n项和Sn=f(n) (n属于N*）
1,求首项a1
2,求数列{an}的通项公式和Sn

Answer 1

1、
令x=0
f(0+1)-f(0)=2×0+1
f(1)=f(0)+1
f(0)=0代入,得f(1)=1
S1=f(1)=1
a1=S1=1
2、
将x换成x-1
f(x-1+1)-f(x-1)=2(x-1)+1
f(x)-f(x-1)=2x-1
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=f(n)-f(n-1)=2n-1
n=1时,a1=2×1-1=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2n-1
Sn=a1+a2+...+an
=2(1+2+...+n)-n
=2n(n+1)/2 -n
=n²