当然，我会尽量详细地解释每一步。
(1) 抛物线 \(y=x^2+3\) 与直线 \(x=0\), \(x=1\) 以及 \(x\) 轴围成的面积
这个面积可以通过积分来计算。我们需要找到抛物线在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 之间的面积，然后减去 \(x\) 轴与 \(x=0\) 和 \(x=1\) 之间的面积。具体的积分公式为：
$$
\int_{0}^{1} (x^2+3) dx - \int_{0}^{1} 0 dx
$$
这个积分的结果是 \(10/3\)。
(2) 抛物线 \(y=x^2\) 与直线 \(y=x\) 围成的面积
首先，我们需要找到抛物线和直线的交点。这可以通过解方程 \(x^2 = x\) 来得到，解得 \(x = 0\) 或 \(x = 1\)。然后，我们在这两点之间积分，得到的积分公式为：
$$
\int_{0}^{1} (x - x^2) dx
$$
这个积分的结果是 \(1/6\)。
(3) 抛物线 \(y=x^2\) 与直线 \(y=x+2\) 围成的面积
首先，我们需要找到抛物线和直线的交点。这可以通过解方程 \(x^2 = x+2\) 来得到，解得 \(x = -1\) 或 \(x = 2\)。然后，我们在这两点之间积分，得到的积分公式为：
$$
\int_{-1}^{2} (x+2 - x^2) dx
$$
这个积分的结果是 \(9/2\)。
(4) 双曲线 \(y=1/x\) 与直线 \(y=x\) 以及 \(x=2\) 围成的面积
首先，我们需要找到双曲线和直线的交点。这可以通过解方程 \(1/x = x\) 来得到，解得 \(x = 1\)。然后，我们在 \(x=1\) 和 \(x=2\) 之间积分，得到的积分公式为：
$$
\int_{1}^{2} (x - 1/x) dx
$$
这个积分的结果是 \(3/2 - \log(2)\)。
解答：
