海伦公式是怎样变形的呢？

Question

如题所述

Answer 1

1、先来看海伦公式：三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，
其中P=(A+B+C)/2
A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。
2、再来看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]
=（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）]
变形1
=（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]}
变形2
=（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]}
变形3
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^]
变形4
3、画一个三角形（在这儿不好画，你自己画一个吧），三边分别为
A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H，把A分成两部分X、Y
根据勾股定理可得以下三式：
X=A-Y
第1式
H^=B^-Y^
第2式
H^=C^-X^
第3式
根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^
第4式
把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得
Y=（A^-C^+B^）/2A
第5式
根据第2式可得
H=√（B^-Y^）
=√[B^-（A^-C^+B^）/4A^]
={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
三角形面积S=（1/2）*AH
=（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^
]
这个等式就是海伦公式的变形4，故得证。