u=y/x，dy/dx = du/dx*x+x

Question

u等于y/x那么u不就是关于xy的函数吗，然后y又是x的函数，那么y=ux两边同时对x进行求导，那么 对u的导数 不应该是， du/dx+du/dy*dy/dx吗。

Answer 1

您的思路是正确的。如果我们将u = y/x 看作是关于x和y的函数，那么根据链式法则，我们可以将dy/dx表示为：
dy/dx = dy/du × du/dx
其中，dy/du 表示y关于u的导数，du/dx 表示u关于x的导数。因此，我们可以先用u = y/x 将dy/du表示为：
dy/du = d(y/x)/du = 1/x
接着，对u = y/x 两边同时对x求导，得到：
du/dx = d(y/x)/dx
将y = ux代入上式，得到：
du/dx = d(ux/x)/dx = d(u)/dx + d(x)/dx × u = du/dx + u
最后，将上面两个式子代入dy/dx = dy/du × du/dx中，得到：
dy/dx = (1/x) × (du/dx + u) × x + x = du/dx × x + u × (1 + x^2)
因此，我们得到了dy/dx的表达式，它是关于x和y的函数的导数，其中u = y/x。追问

那若是你遇到这样的问题，你如何快速的进行求解呢，我看其他人的说法就是y=ux,然后用乘法法则求导，但是我主要是在这 不理解，为什么u的导数就是du/dx却和y没有关系呢

追答

您的疑惑很正常，这里我再解释一下。
在求y关于x的导数时，常常使用“乘法法则”或者“链式法则”。乘法法则是对于两个函数相乘的情况，其导数可以表示为两个函数的导数的乘积。例如，对于f(x)和g(x)两个函数相乘，其导数可以表示为：
d(fg)/dx = f'g + fg'
这个公式可以看作是对乘积形式的函数求导时的通用公式。
而对于链式法则，它适用于复合函数的情况。例如，对于函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数y=f(g(x))，其导数可以表示为：
dy/dx = dy/du * du/dx
其中，du/dx表示g(x)关于x的导数，dy/du表示f(u)关于u的导数。这个公式可以看作是对复合函数求导时的通用公式。
回到本题中，假设y是x的函数，u是y/x的函数。那么y和x都是自变量，而u是中间变量，它与y和x之间存在一定的函数关系。因此，在求u关于x的导数时，需要使用链式法则。根据链式法则，可以得到：
du/dx = du/dy * dy/dx
其中，du/dy表示u关于y的导数，dy/dx表示y关于x的导数。这里的du/dy常常被视为常数项，因为y是独立变量，对其求导得到的结果是1。因此，du/dx可以简化为：
du/dx = dy/dx/x
这个结果可以代入题目中的公式du/dx = du/dy*x + x，得到：
dy/dx/x = du/dy*x + x
移项化简，可以得到：
dy/dx = y/x - u*x^2
这个式子也可以使用乘法法则求导的方式得到，但是需要注意的是，它是对于复合函数y=f(u)和u=g(x)的情况下的求导公式，与简单的乘法法则有所不同。