1+1的理论.即哥德巴赫猜想、
1729年~1764年,哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来.
在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了一个命题.他写道：
"我的问题是这样的：
随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数之和：
77=53+17+7；
再任取一个奇数,比如461,
461=449+7+5,
也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和.这样,我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和.
但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验."
欧拉回信说,这个命题看来是正确的,但是他也给不出严格的证明.同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和.但是这个命题他也没能给予证明.
不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论.事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：
2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4.
若欧拉的命题成立,则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立.
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立.因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高.
现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想
【哥德巴赫猜想小史】
1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和.如6＝3＋3,12＝5＋7等等.公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意.从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功.当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等.有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立.但严格的数学证明尚待数学家的努力.
从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意.200年过去了,没有人证明它.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠". 人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰.世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解.
到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近.1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为（99）.这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从（9十9）开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了哥德巴赫猜想.
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积.”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式.
■哥德巴赫猜想证明进度相关
在陈景润之前,关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:
1920年,挪威的布朗证明了“9 + 9”.
1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”.
1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”.
1937年,意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”.
1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”.
1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”.
1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”,其中c是一很大的自然数.
1956年,中国的王元证明了“3 + 4”.
1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”.
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”, 中国的王元证明了“1 + 4”.
1965年,苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”.
1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”.
从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”,历经46年.自"陈氏定理"诞生至今的40多年里,人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究,均劳而无功.
■布朗筛法相关
布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n,这里n是一个自然数,2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,…;3j和(2n-3j),j=2,3,…;等等),如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去,例如记其中的一对为p1和p2,那么p1和p2都是素数,即得n=p1+p2,这样哥德巴赫猜想就被证明了.前一部分的叙述是很自然的想法.关键就是要证明'至少还有一对自然数未被筛去'.目前世界上谁都未能对这一部分加以证明.要能证明,这个猜想也就解决了.
然而,因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3,尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和.故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时,所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现,1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现）,同2+1或2+2的"完全一致",2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系,就可导出的"类别组合"为1+1,1+1与1+2和2+2,1+1与1+2,1+2与2+2,1+1与2+2,1+2等六种方式.因为其中的1+2与2+2,1+2 两种"类别组合"方式不含1+1.所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可将1+2与2+2,以及1+2两种方式的存在排除,则1+1得证,反之,则1+1不成立得证.然而事实却是：1+2 与2+2,以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和,或一个素数与两个素数乘积的和）,所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据.所以1+2与2+2,以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的,客观的,也即是不可排除的.所以1+1成立是不可能的.这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1".
由于素数本身的分布呈现无序性的变化,素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系,偶数值增大时素数对值忽高忽低.能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗?不能!偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循.二百多年来,人们的努力证明了这一点,最后选择放弃,另找途径.于是出现了用别的方法来证明哥德巴赫猜想的人们,他们的努力,只使数学的某些领域得到进步,而对哥德巴赫猜想证明没有一点作用.
哥德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系,表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式,是不存在的.它可以从实践上证实,但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾.个别如何等于一般呢?个别和一般在质上同一,量上对立.矛盾永远存在.哥德巴赫猜想是永远无法从理论上,逻辑上证明的数学结论.
【哥德巴赫猜想意义】
“用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想.奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和.偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和.”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）
关于哥德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了,我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大,以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大.
事实上,在1900年,伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告,提出了23个挑战性的问题.哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题,这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想.现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想,若黎曼猜想成立,很多问题就都有了答案,而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立,若单纯的解决了这两个问题,对其他问题的解决意义不是很大.所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时,发现一些新的理论或新的工具,“顺便”解决哥德巴赫猜想.
例如：一个很有意义的问题是：素数的公式.若这个问题解决,关于素数的问题应该说就不是什么问题了.
为什么民间数学家们如此醉心于哥猜,而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢?
一个重要的原因就是,黎曼猜想对于没有学过数学的人来说,想读明白是什么意思都很困难.而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂.
数学界普遍认为,这两个问题的难度不相上下.
民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题,一般认为,初等数学无法解决哥德巴赫猜想.退一步讲,即使那天有一个牛人,在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想,有什么意义呢?这样解决,恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了.
当年柏努力兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题.牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题.虽然雅克布的方法最复杂,但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法.现在来看,雅克布的方法是最有意义和价值的.
同样,当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理,但却不公布自己的方法.别人问他为什么,他回答说：“这是一只下金蛋的鸡,我为什么要杀掉它?”的确,在解决费尔马大定理的历程中,很多有用的数学工具得到了进一步发展,如椭圆曲线、模形式等.
所以,现代数学界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论.
【哥德巴赫猜想的证明】
哥德巴赫猜想困扰了人们两百多年,但始终没有被证明,看似越简单的越难证明,数学中也还有许多类似的猜想,表面看很简单,但证明确很困难.这是数学猜想的一个共性.
素数是整数的基础,也就是除了1和自身以外,不能被其他数所整除的数是素数,由素数相乘得到的是合数,每一个大于等于6的偶数可以分解成两个素数的和,这是1742年哥德巴赫首先提出,但两百多年过去了,至今还没有证明.其实哥德巴赫猜想比人们想象的要简单,其一是偶数分解为两个素数的和不是唯一的,一个偶数可以分解为多种两个素数的和,而且随着偶数的增大,可以有更多的解,当然证明的过程不是用普通筛选,也不是用随机概率.证明的过程是建立在一个新的简单的公式基础上,类似于数学归纳法.
首先素数是无限的,这个是已经被人所证明,这里只是提一下.偶数我们用2N表示,N+K和N-K的和等于2N,其中K＜N,K是任意的正整数,对于任意的2N,可以表示为两个数的和,由于我们通常认为1不是素数,所以这种组合的可能有N-1个,在这N-1种组合中,我们要找出N+K和N-K 都是素数的组合,对于比较小的数可以做到,对于无限的数来讲,我们要证明的是N+K和N-K都是素数的可能性随着N的增大而增大,这样就能证明任意的偶数都可以分解成两个素数的和.
求素数的个数的欧拉定理,从这个定理中可以得出大致的素数的个数,小于2N的素数的个数大于公式1,2N×1/2×(1-1/3)×(1-1/5)×…(1-1/P)其中P＜√2N＜P+M（P小于2N的平方根）,这个公式包含素数,要用已知的素数来求出2N以内的素数,对于无穷大的素数来讲,这不是好的算法.但证明哥德巴赫猜想的方式却和这个公式相近.
对于N+K和N-K这两个数,一共有N-1种组合方式,在这其中两个数都是素数的个数A和上面的公式相似,由下面的公式2可以计算其最小值, A一定大于公式2的值,公式2,(N-1)×{1/2×1/3×3/5×5/7×…[(P-2)/P]},其中P＜√2N＜P+M（中间的数是2N的平方根）,对于比P大的下一个素数我们记作P+M,比P大的第二个素数记作P+L,上面公式中大括号的数用F表示,对于P+M＜√2H＜P+L,在这个区间的偶数被分解为两个素数的概率是 （H-1）×F×[（P+M-2）/（P+M）].
在P2（注P的平方）和（P+M）2中间的偶数,其中P2+1这个偶数可以被拆分为两个素数的极小值A最小,但这个数值A要大于1,这样至少会有一组数都是素数,在（P+M）2到（P+L）2之间的偶数,（P+M）2+1可以被拆分为两个素数的极小值也最小,将P2+1和（P+M）2+1代入公式2,经过简单计算,可以得知这个概率是增加的,因为M最小为2,比如我们去P等于11,P+M 则等于13,P+L等于17,在这172即289之内的偶数都可以分解为两个素数的和,由于P是任意的,N也是任意的,对于N越大,可以被分解为两个素数和的概率是增加的,所以哥德巴赫猜想得以成立.
120 是60的2倍,120 小于11的平方121,代入公式2；59×1/2×1/3×3/5×5/7≈4.2,但60能被3和5整除,上式实际为59×1/2×2/3×4/5×5/7≈11.2,实际120可以分解为12组素数的相加,如果一个数N可以被素数J所整除,那么N+K和N-K同时被J所整除的概率降为（J-1）/J,而不是（J-2）/J,另外,当N-K很小时,N-K 就可能成为素数,这时也使这两个数成为素数的概率增加,公式2是最低限度的数值,并不是求偶数分解成两个素数和的精确公式,122这个数用公式2得出3.5,而实际上122可以分解为4组素数的和,这个值和公式的计算结果相近,这是因为122除以2等于61,61是一个素数,所以不用调整公式,而对于N是和数,调整的结果只能是增大,这样对于任意的偶数2N,分解成两个素数的最小值是增加的,而已知的数是成立的,所以哥德巴赫猜想得以证实.
素数的分布是一个确定的数列,但又不是一个可以简单求出的数列,而随机分布的几率没有考虑这种确定分布,所以用随机的分布理论不能证明哥德巴赫猜想,而确定的素数分布也不能求出,这是哥德巴赫猜想的难点,证明哥德巴赫猜想要用到素数分布,又要用对称性来消除素数分布,本文正是巧妙的用到这一点,从证明2N 可以被分解为两个素数的可能性出发,证明这种可能性是随着2N的增加而增加,绕开了素数的具体分布.这是关键所在.
注：P2代表P的平方,因为电脑的原因,书写不方便,以下（P＋M）2代表也是平方．
命Px（1,2）为适合下列条件的素数p的个数：x-p=p1或x-p=p2p3 其中p1,p2,P3都是素数.[这是不好懂的；读不懂时 可以跳过这几行.用X表一充分大的偶数.
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