设H是群G的子群,证明:H在G中的所有左和右陪集中有且只有一个子群.

Question

这是个证明题。。感觉需要一个完成的步骤

Answer 1

G=eH∪a1H∪a2H…∪akH=H∪a1H∪a2H…∪akH

是G的一个划分，在这些左陪集中只有H含有幺元e，故H是仅有一个子群。

再给出一个证明：

证明设a是G中任意元，aH是G的关于子群H的一个左陪集，如果aH是子群，则幺元e属于aH，即存在H中的元h，e=ah，a=h^-1，H是子群，故a也属于H；

于是对任意H中的元h有ah属于H，即aH包含于H，对任意H中元h，h=aa^-1h，由于a^-1h属于H，H包含于aH，故aH=H。

扩展资料：

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

如果群G的非空子集合H对于G的运算也成一个群，那么H称为G的子群。 设G 是群，H是G的非空子集，且H 关于G 上的运算 也构成群 ，则称H 是G的子群。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H<G。任何一个非单位元群G至少有两个子群，G自身以及由单位元e作成的单位元群{e}(或用{1}或1表示)，称为G的平凡子群。

不是平凡子群的子群称为非平凡子群。群G的非空子集H为G的子群的充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。