在三角形abc中,向量AB=向量a,向量AC=向量b,角BAC=45度,若向量a的膜=2,则向量a-向量tb的膜的最小值为多少

Question

如题所述

Answer 1

这样的题目大致有2类做法：解析法和数形结合法
解析：a dot b=|a|*|b|*cos(π/4)=2|b|*sqrt(2)/2=sqrt(2)|b|
|a-tb|^2=(a-tb) dot (a-tb)=|a|^2+t^2|b|^2-2t(a dot b)=t^2|b|^2-2sqrt(2)|b|+4
=t^2(|b|-sqrt(2)/t)^2+2，题目中t是不能为0的，t=0，a-tb=a，是一个定向量
t>0时，二次函数的对称轴：sqrt(2)/t>0，最小值为2，即|a-tb|是最小值为：sqrt(2)
t<0时，二次函数的对称轴：sqrt(2)/t<0，而|b|>0，此时，函数在(0,+inf)上是增函数
函数的取值能够趋于t^2*2/t^2+2=4，即：|a-tb|没有最小值，只能趋于该值2，却不能取得该值
但考虑极端情况，t可以取0，即t≤0时，|a-tb|最小值是2
综合：|a-tb|的最小值：sqrt(2)
数形：
t>0时，a-tb与AC垂直时，|a-tb|最小，此时|a-tb|=sqrt(2)
t<0时，a-tb相当于a和-tb的和向量，如果t不能取0的话，和向量的模值可以趋于|a|
但却不能等于|a|，如果t≤0，则|a-tb|的最小值是|a|，即2
综合：|a-tb|的最小值：sqrt(2)

Answer 2

其实这个题问的就是向量a-向量tb那个距离B点最短，且角BAC=45度，所以当t=二分之根二时，最小，为根号二
在补充一点，点到线的距离垂线最短，这个题就是根据这个原理做的