sinx的平方求不定积分可以用分部积分法吗

Question

如题所述

Answer 1

可以
sin(x^2)的积分是：
原函数没有初等解，其中S(x)是菲涅尔积分。
如果求的是(sinx)^2的不定积分，就有初等解：
∫(sinx)^2dx=0.5*∫(1-cos2x)dx=x/2-1/4sin2x+C
不定积分求解的一般方法：
积分公式法：
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法：
不定积分换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且ψ(x)在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：
1、 根式代换法，
2、 三角代换法。
在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。
链式法则是一种最有效的微分方法，自然也是最有效的积分方法。
分部积分法：
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu。
两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。 ⑴
称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。

Answer 2

积函数是(sinx)²,则求解较简单。sin(x²)的积分无法用初等函数表示，但此题可以用级数法求解。已知sinx的级数展开式是：
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...
所以，sinx²的展开式是：
sin(x²)=x^2-x^6/3!+x^10/5!-x^14/7!+...
对上式右边逐项积分得：
∫sin(x²)dx=∫(x^2-x^6/3!+x^10/5!-x^14/7!+...)dx
=c+x^3/3-x^7/(7*3!)+x^11/(11*5!)-x^15/(15*7!)+...
上面的c是一个积分常数。