高中数学题q求解

Question

已知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0
1.求y/x的最大值和最小值
2.求x^+y^的最大值和最小值
3.求2x-y的最大值和最小值

Answer 1

由x^2+y^2-4x+1=0，得(x-2)^2+y^2=3，它的图形是：圆，圆心(2,0),半径=根号3
1.
【分析】y/x=(y-0)/(x-0)，即圆上点(x,y)与原点(0,0)的斜率
当该斜率所在直线与圆相切时，就是最大值和最小值
【解】设直线为：y=kx,与圆x^2+y^2-4x+1=0联立
x^2(1+k^2)-4x+1=0
因当该直线与圆相切时，斜率就是y/x的最大值和最小值，
因相切：△=b^2-4ac=16-4(1+k^2)=0
∴k=±√3
∴y/x最大值=√3 ，最小值=-√3

2.【分析】
x^2+y^2=(x-0)^2+(y-0)^2，它的几何意义是：圆上的点到原点的距离的平方
又因为圆心在x轴上，所以，x^2+y^2的最值就是y=0时的x值
【解】
∵当y=0时，(x-2)^2=3,x=2±√3
∴x^2+y^2的最大值=2+√3；最小值=2-√3

3.【分析】设b=2x-y,即y=2x-b 【提示，线性规划中，通常用z=2x-y,我习惯用b=2x-y,因为这样更易理解b(即z)的最值问题】
y=2x-b 一定与y=2x平行，将y=2x平移到与圆相切，b的最值就出来了
【解】设y=2x-b
由y=2x-b与x^2+y^2-4x+1=0联立，得
x^2+4x^2-4bx+b^2-4x+1=0
5x^2-(4b+4)x+(b^2+1)=0
由△=(4b+4)^2-4*5*(b^2+1)=0 得
16b^2+32b+16-20b^2-20=0
-4b^2+32b-4=0
b^2-8b+16=16-1
(b-4)^2=15
∴2x-y的最大值=4+√15，最小值=4-√15

Answer 2

1 x^2+y^2-4x+1=0 ===>(x-2)^2+y^2=3求y/x的最大值即求过原点的直线与圆相交斜率的大小
当直线与圆相切时y/x取到最大值及最小值
作图我们易发现y/x最大值√3/2;最小值-√3/2
(2)
x^2+y^2
=(2+√3cosa)^2+3sin²a
=4+3cos²a+4√3cosa+3sin²a
=7+4√3cosa
(x^2+y^2)max=7+4√3
(x^2+y^2)min=7-4√3 或
x^2＋y^2-4x+1＝0即(x-2)^2+x^2=3
表示以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆
所以x^2＋y^2-4x+1＝0上到原点的最远点为（2+√3，0），最近点为（2-√3，0）
而x^2＋y^2表示圆上的点到原点距离的平方
所以x^2＋y^2的最大值为（2+√3）^2=7+4√3,最小值为（2-√3）^2=7-4√3本回答被网友采纳

Answer 3

解：x^2+y^2-4x+1=0
（x-2）^2+y^2=3
1.
求y/x的最大值和最小值

即求过（0,0）点与圆上一点连线方程斜率的最大值和最小值
y/x=y-0/x-0

即过原点作圆的切线
所以（y/x）max=根号3
（y/x）min=负根号3

2.
求x^+y^的最大值和最小值

即转换为
圆上一点到原点的最大距离和最短距离的平方
根据图像易知(x^+y^)max=2+根号3
(x^+y^)min=2-根号3

3.
求2x-y的最大值和最小值

根据圆的参数方程，可知
x=（根号3）cosx+2
y=（根号3）sinx
∴2x-y=2（根号3）cosx+4-2（根号3）sinx
=2（根号3）[cosx-sinx]+4
=2（根号6）cos(x+π/4)+4
因为cos(x+π/4)属于[-1,1]
所以（2x-y）max=2（根号6）+4
（2x-y）min=4-2（根号6）

Answer 4

上面的方程式可以转化为：(x-2)^+y^-3=0,由此可以推断出：y的平方小于等于3，（x-2）的平方大于等于3，接下来你自己想啦

Answer 5

原式可化为(x-2)^2+y^2=3
第一题就是求圆上的点与原点连线的的斜率的min.数形结合可知是切线的斜率最小，大。联立y/x=k和原方程，令判别式为零。kmin=-根号3，kmax=根号3
第二题就是求圆上的点到原点距离的平方的最值。过圆心与原点连线和园相交靠近原点的点是最小的，离原点较远的是大的。答案是7-4倍根号3，7+4倍根号3
第三题令2x-y=m,则y=2x-m就是求过已知圆上一点斜率为2的一组平行直线系与y轴交点最值。同样是切线。令圆心到直线距离等于半径2.则m为所求。4+根号15 4-根号15