该定理可以根据实数的完整性来证明：
我们将证明第一种情况，f(a)<u<f(b)，第二种情况类似。
让S是[a，b]中的所有x的集合，让f(x)<u。S是非空的因为a是S的元素，并且b是S的边界。
因此，通过完整性，存在上限c=supS。
也就是说，c是大于或等于S的每个元素的最小数。我们称f(c)<u。存在 ε>0。
由于f是连续的，当|x-c|<δ 时，存在δ>0，使得|f(x)-f(c)|<ε。
这意味着f(x)-ε<f(c)<f(x)+ε对于所有的x∈(c-δ,c+δ)，存在属于S的a'∈(c-δ,c)，使得f(c)<f(a')+ε<u=ε选择a''∈[c,c+δ)，这显然不会包含在S中.
所以我们有f(c)>f(a'')-ε≥u-ε两种不等式u-ε<f(c)<u+ε对于所有的ε>0都是成立的，如我们所说，我们推导出f(c)=u是唯一可能的值。
介值定理也可以使用非标准分析的方法来证明，这在非常严格的基础上提出了涉及无限小数的“直观”论证。
扩展资料：
介值定理的应用：
介值定理是说，对于闭区间[a，b]上的连续函数f（x），在最大值M与最小值m之间的任意实数ζ，总可以在该函数定义域内找到一个点c，使得f（c）=ζ。
若M=m，命题显然成立；
若m＜M，由于闭区间上的连续函数f（x）比有最大（小）值，因此设f（x（1））=m，f（x（2））=M，并且a≤x（1）＜x（2）≤b。
若f（x（1））=ζ或者f（x（2））=ζ，则取c=x（1）或者x（2）即可,若m＜ζ＜M，
作函数g（x）=f（x）-ζ，从而g（x（1））=f（x（1））-ζ＜0,g（x（2））=f（x（2））-ζ＞0，这样在区间（x（1）,x（2））内存在一点c，使得g（c）=f（c）-ζ=0,即f（c）=ζ。
需要说明的就是上述证明中用到如下的定理：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且f（a）f（b）＜0,则在区间（a，b）内存在一点c，满足f（c）=0。
参考资料来源：百度百科-介值定理