有理函数的不定积分，当把分母为多个因式的积拆成差的形式时，分子应该怎么设？

Question

如题所述

Answer 1

当分母是ax² + bx + c等等这样的多项式时
分子设Ax + B等等这样的多项式，次数比分母少1次

当分母是(ax + b)³时
设A/(ax + b)³ + B/(ax + b)² + C/(ax + b)...余此类推

当分母是(ax² + bx + c)(ax + b)³等等
设(Ax + B)/(ax² + bx + c) + C/(ax + b)³ + D/(ax + b)² + E/(ax + b)...与此类推追问

根据第一种的话，第二种的最高次是3，为什么不设成x的2次呢？
那（x-3）/(x-1)^2*(x+1)应该怎么拆设？

追答

因为那个2次方不在x上，而是在整个括号上。不详尽说了，这部分莪也没深入探讨过，知道方法可以了。

(x - 3)/[(x - 1)²(x + 1)] = A/(x + 1) + B/(x - 1)² + C/(x - 1)

第一种情况的分子是设x的次方比分母中的x的次方少一次
如果分母是ax^n + bx^(n - 1) + cx^(n - 2) +...，则分子是设Ax^(n - 1) + Bx^(n - 2) + Cx^(n - 3) + ...

追问

但是书上是这样设的——（Ax+B）/（x-1）^2+C/（x+1）。
难道有两种设法？

追答

B/(x - 1)² + C/(x - 1)
= [B + C(x - 1)]/(x - 1)²
= [Cx + (B - C)]/(x - 1)²，你书上将这俩分数合并而已

追问

喔，原来如此。谢了！
如果分母是（x^2+x+1）^2应该怎么拆设？

追答

这个有点特殊
是A/(x² + x + 1)² + (Bx + C)/(x² + x + 1)
注意这分裂为分式的过程中，若分子次数大于等于分母的话，需用先多项式除法，否则分子次数要小于分母的才能使用。

之前那个(x - 3)/[(x - 1)²(x + 1)]的分裂结果为- 1/(x + 1) + 1/(x - 1) - 1/(x - 1)²