关于高等数学中有理分式不定积分和因式分解的问题

有理分式积分时,把假分式化为真分式, 还需要把分母进行因式分解. 教材中说:"理论上,多项式Q中可以在实数范围内可以分解成一次及二次质因式的乘积"

这种说法岂不是等同于说所有多项式均可分解,这是不可能的, 例如:x^4+1.

哪位帮忙解决一下.
三位朋友的答案都很有启发性, 非常感谢!

有理分式不定积分
两个多项式的商P(x)/Q(x)称为有理函数,又称为有理分式,我们总假定分子多项式P(x) 与分母多项式Q(x)之间无公因式,当分子多项式P(x)的次数小与分母多项式Q(x),称有理式为真分式,否则称为假分式.

对于假分式的积分:利用多项式除法,总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.
总结:解被积函数为假分式的有理函数时,用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式,然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆,有助于提高解题速度。
参考:1.http://wenku.baidu.com/link?url=9xPCjCdTokzjQzctkUfAq7sjy-n4vNpKpoPlBp7iYP4oVPA9xlCp4JDxKb-udREIVEVX8eSODTYOhl0rpRyRQBJog7cKqa0t4LdvUlGuyxy
2.http://wenku.baidu.com/link?url=IxwHKzUNY6cCV_05pj3WK2dDVVQ5v-UxuQPbuJZr2BAmBOZf_GhGKAAkdq9NnXcnRGFB4ImeD1pmW5uoOXqd51Yxk4zQDUvzzT_wbbMwfwu
因式分解
提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.
例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
注意:把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.
平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);
立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);
完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.
公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.
(3)分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形.
2.分解因式技巧掌握:
①等式左边必须是多项式;
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑.
3.提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式:
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.
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竞赛用到的方法

⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识.
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法.
比如:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难.
同样,这道题也可以这样做.
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出.
2. x^3-x^2+x-1
解法:=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决.
3. x2-x-y2-y
解法:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决.

⑷十字相乘法
这种方法有两种情况.
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
图示如下:
×
c d
例如:因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中

⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).

⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如:x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5).

⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式.(事实上,x²+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;
2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数

⑻换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法.
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时,可以令y=x²+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12=y²+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x+2)(x-1)
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第1个回答  推荐于2017-10-08
x^4+1确实可以分解成二次多项式
x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-√2*x)(x^2+1+√2*x)
注意题中的实数范围

教材说的没错,只是有些繁琐的多项式我们无法用初等方法分解。

学到复数的话你会知道,一个n次多项式一定有n个根(包括重根,非实根),然后一个多项式就一定可以分解成k*(x-x1)*(x-x2)*……的形式,其中xn为多项式等于0的根。本回答被提问者采纳
第2个回答  2008-08-19
楼上的几个,你们好像弄错了吧,人家问的是有理分式,不是有理整式。
用的是待定系数法进行的分解,方法简单,但是过程太复杂,是体力活。具体的方法我记不太清了,因为书没在身边。
陈文登的考研教材上有(这本书其实偏难),或是看数学系用的数学分析,上面也有,我看过的。
第3个回答  2008-08-19
对所有多项式Q均可以分解成一次及二次质因式的乘积

x^4+1是可以分解的

比如

x^4+1=(x^2+1)-2x^2=(x^2+1-根号2x)(x^2+1+根号2x)
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