求n阶导数。莱布尼兹公式和多项式除法

Question

y=(ax+b)/(cx+d)
用多项式除法 怎么拆分的？
这道题用莱布尼兹我可以做出来

另外一道题
y=(x³)/(x²-3x+2)
用多项式除法怎么拆分的？
另外这道题用莱布尼兹公式怎么做？我做不出来

都是求N阶导

Answer 1

个人感觉莱布尼茨公式尽量少用吧，展开来太复杂了。
1、y=(ax+b)/(cx+d)
=(ax+ad/c+b-ad/c)/(cx+d)
=a/c+(b-ad/c)/(cx+d)
大概是这个意思，特殊的比如c=0之类的情况就省略了
2、y=(x^3)/(x^2-3x+2)
=x^3/[(x-1)(x-2)]
=x^3(1/(x-2)-1/(x-1))
=(x^3-2x^2+2x^2-4x+4x-8+8)/(x-2)-(x^3-x^2+x^2-x+x-1+1)/(x-1)
=x^2+2x+4+8/(x-2)-x^2-x-1-1/(x-1)
=x+3+8/(x-2)-1/(x-1)
这样就可以直接求导了追问

所以一般都是不用莱布尼兹的是吧？
没有给具体点，一般都是用上述这种方法的？
或者用数学归纳法。
（但是有些题，求导很复杂，归纳法不好用啊？）

如果给具体点，就是用泰勒公式展开式，来算n阶那一项的系数的，是这样吗？

就这两种方法就够了？

追答

看题目本身了吧。你问的这种题都能分成几项之和，每一项求n阶导都很方便，当然就这么做了。泰勒公式里面的n阶导是求某一点的n阶导，所以有时可以考虑用莱布尼茨公式，把那个点代进去，可能一下子就化简了。我觉得一般这些方法就够了吧。。。