y"+y=3e^(-x),y(0)=0，y撇(0)=0，求特解

Question

如题所述

Answer 1

定义1文献[1]：   含有自变量、未知函数以及未知函数导数(或微分)的函数方程，称为微分方程，微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶.

所以 这个是2阶微分方程，而且我们一般称之为二阶常系数非齐次线性方程。

定义2文献[1]：如果微分方程的解中含有n个独立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解，若确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.

本题要求特解必须不含任意常数。

思路：

1. 先求通解；2.再求特解。

方法：

因为二阶常系数非齐次线性方程的解的结构：文献[3]

二阶常系数非齐次线性方程的通解=二阶常系数齐次线性方程通解＋二阶常系数非齐次线性方程的1个特解

所以

  先求二阶常系数齐次线性方程通解文献[2]

2.  再求二阶常系数非齐次线性方程的1个特解 。文献[4]

求齐次通解的手段： 写出特征方程，求出特征根，再套公式。

求非齐次特解的手段：待定系数法

解：1. 求齐次通解Y.

写出特征方程：r²ï¼‹1=0

r1=i,r2=-i

所以

通解Y=c1cosx+c2sinx

2. 齐次特解y*

设特解形式y*=ae^(-x)

y*'=-ae^(-x),y*''=ae^(-x)

代入原方程，得

ae^(-x)+ae^(-x)=3e^(-x)

2a=3

a=3/2

所以

y*=3/2e^(-x)

从而

非齐次通解y=Y+y*=c1cosx+c2sinx+3/2e^(-x)

3. 由已知

y(0)=0，y撇(0)=0，得

c1+3/2=0①

y'=-c1sinx+c2cosx-3/2e^(-x)

0=c2-3/2②

由①，得

c1=-3/2

由②，得

c2=3/2

所以

特解y=-3/2 cosx+3/2 sinx+3/2e^(-x).

参考文献：

《高等数学》，同济大学数学系，高等教育出版社，1-6版


http://wenku.baidu.com/view/0e4440fa770bf78a65295464.html

http://wenku.baidu.com/view/992e22f5f61fb7360b4c65ec.html

http://wenku.baidu.com/view/53cedcbf960590c69ec376e0.html

Answer 2

解：∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0，则r=±i（复根）
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是任意常数)
∵设原方程的解为y=Ae^(-x)
代入原方程得Ae^(-x)+Ae^(-x)=3e^(-x)
==>2A=3
==>A=3/2
∴原方程的一个解是y=3e^(-x)/2
于是，原方程的通解是
y=C1cosx+C2sinx+3e^(-x)/2 (C1,C2是任意常数)
∵y(0)=0，y'(0)=0
∴代入y=C1cosx+C2sinx+3e^(-x)/2，求得C1=-3/2，C2=3/2
故所求特解是y=3(sinx-cosx+e^(-x))/2。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3