解析几何：《抛物线》
课时设计依据：
一般地，解析几何的基本方法：
解析表示：在平面解析几何中，通过建立坐标系在平面点与二元实数组的集合之间（进而，在平面曲线与具有两个变量的方程的集合之间）建立了对应关系，由于平面点集是一个几何结构，实数集则是一个代数结构，因此这里所做的事实就是在整体上实现了由平面几何向代数的化归。通过建立坐标系把原来的几何问题转化成了代数（计算）问题。
建立适当的直角坐标系应遵循两点：
（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；
（2）曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。
几何解释：将代数计算得到的结果，用于说明平面曲线的性质。
解析方法为我们提供了对曲线（曲面）进行研究的普遍方法：
第一，根据曲线（曲面）的几何条件，求得它的方程；
第二，利用代数方法对方程进行研究，从而掌握相应曲线（曲面）的几何性质。
一、 课时划分：
根据以上方法，将抛物线一节设计成2课时：
1、抛物线的定义及其标准方程：
使学生掌握抛物线的定义，推导开口向右的抛物的标准方程，进而由开口向右的标准方程推导出开口向左、向上、向下的标准方程、焦点、准线等，比较其异同点。重点p（焦点到准线的距离）及开口方向。
教学重点是开口向右的抛物线标准方程的推导，根据具体条件写出开口向四个方向的抛物线的标准方程。
2、抛物线的性质及应用：
使学生熟悉抛物线的几何性质——范围、顶点、离心率、对称性等，比较开口分别向四个方向的抛物线的性质及其异同点，初步掌握抛物线的解题方法，应用抛物线的性质解决实际问题。
二、 根据学习过程及数学思维方式处理教材
学习过程结构模式：
学习— 学— 学——闻见（感知） 获得知识和技能
思——慎思（理解）
习— 习——时习（巩固） 形成能力和德行
行——笃行（应用）
教材内容处理：
教材内容环节
教学过程设计环节
说明
学习过程
抛物线的定义
开口向右的抛物线标准方程
1、提出问题：平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹，当e =1时是什么曲线？
2、通过“拉线教具”的演示，观察与定点F的距离等于到定直线 l 的距离的动点的轨迹
3、引导学生建立直角坐标系，推导出开口向右的抛物线的标准方程
思维由问题引起（问题性）
设计问题情境，观察动点的轨迹（开口向右的抛物线）
将几何问题用代数方法来研究，得出方程及数量关系
感知
理解
抛物线的标准方程
以开口向右的抛物线为参照体
4、将开口向右的抛物线以顶点为中心，旋转得到开口向左、向上、向下的抛物线，猜想并验证标准方程及焦点坐标、准线方程
5、对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比分析，启发学生数形结合，辩认异同
变给出为构造，突出思维脉络，得出代数结论
通过类比数量关系，强化感知认识，将代数结论用几何解释为几何结论
理解
6、记忆公式，新旧串联，进行数学美的教育
通过理解记忆，加强新旧联系，领会数学的和谐美
7、讲解例题，巩固练习
巩固
抛物线的性质及应用
8、对比四种位置不同的抛物线的性质
9、性质在解题中及在实际生活中的应用
由一种图形及性质猜想其它三种形式，进一步证实结论的正确
应用
安排例题，练习以应用公式、巩固知识
10、讲解例题
11、小结
12、巩固练习，布置作业
应用
三、 教案一（详细教案）——抛物线的定义和标准方程
教学目标：
1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。
2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；
3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。
教学重点和难点：
重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。
难点：抛物线的标准方程的推导。
教学过程：
一、复习提问：
1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？
（答：已知曲线，求方程的一般步骤如下：
（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标；
（2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ；
（3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0;
（4）把方程f (x,y)=0化简；
（5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。
如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。）
2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹，
当e < 1时是什么图形？（椭圆）
当e > 1时是什么图形？（双曲线）
当e = 1时是什么图形？
二、新课导入：
当e = 1时，它又是什么曲线呢？
即：在平面内到一定点的距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹是什么图形？
演示“拉线教具”：观察与定点F的距离等于到定直线l的距离的动点M的轨迹，画出的是适合条件的点M的集合P={M| |MF|=d}，这里d是动点M到定直线l 的距离。
画出的曲线叫抛物线。
（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）
三、新课讲授：
（一） 定义：
平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
概念理解：
平面内有—— (1) 一定点F——焦点
(2) 一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线
***想：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？
（是过F点与直线l 垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线）
(3) 动点到定点的距离 |MF|
(4) 动点到定直线的距离 d
(5) | MF| = d
（6）动点M的轨迹——抛物线
（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：
1、 要把抛物线上的点M的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Q＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？
〔建立适当的直角坐标系应遵循两点：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；
②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。〕
过焦点F作准线l 的垂线交l 于点K，启发学生思考回答问题：
（1）如何确定x轴（或y轴）？
（以对称轴为坐标轴）
由抛物线的定义和KF是抛物线的对称轴。
（2）如何确定坐标原点？
（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）
因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l 的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。
（3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？
取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。
2、开口向右的抛物线标准方程：（教师引导得出结论）
——将几何问题用代数方法表示
步骤
推导过程
引导及分析
(电脑给出提示或注意)
1
建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标
建立直角坐标系
取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l 相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。
焦点F即定点
准线l即定直线
直线l不过定点F
设焦点到准线的距离｜KF｜= p（p>0）
（p为焦参数）
那么，焦点F的坐标为（p / 2,0）
准线l的方程为x = - p / 2.
根据已知给出曲线上特殊点的坐标和已知直线的方程
设抛物线上的任一点 M（x,y），点M到直线l 的距离为d
2
写出曲线上的点M所要适合的条件
根据定义，抛物线就是集合
P={M| |MF|=d}
①动点M到定点F的距离 |MF|
②动点M到定直线l的距离 d
③平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离| MF| = d
3
用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0
因为
d = | x + p / 2 |
所以
= | x + p / 2 |
①根据两点间的距离公式：动点M（x,y）与定点F（p/2，0）的距离|MF|＝√(x2-x1)2+(y2-y1)2;
②点M(x,y)到直线l: x + p/2=0的距离d怎样表示是一个难点。利用点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式：
或者：点P（x0,y0）到垂直于x轴的直线x = x0 的距离为
d = | x - x0 |
4、把方程f (x,y)=0化简
两边平方，化简得
y2 = 2px (p>0) （1）
即抛物线的标准方程
（如果选取坐标系使得抛物线的顶点在原点，对称轴和一个坐标轴重合，这样推导出来的抛物线方程称为标准方程）
5、证明化简后的方程就是所求的曲线方程
方程（1）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解。还可以证明，以方程（1）的解为坐标的点都在此抛物线上。
因为方程化简的每一步都同解，最后一步证明可以省略
3、标准方程y2 = 2px (p>0)的特点：（用代数方法——几何问题）
p的几何意义：焦点到准线的距离
焦 点：（p/2 ,0）在x轴的正半轴上
准 线：x = - p/2
顶 点：坐标原点（0，0）
开口方向：向右
4、巩固练习：
根据抛物线的标准方程，说出抛物线的焦点坐标和准线方程：
y2=8x y2=6x y2=2/5x y2=3.2x
（三）一条抛物线，由于它在坐标平面上的位置不同，方程也有不同。
1、可由开口向右的抛物线得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程（也可由图象的对称性得到）；
也可由抛物线的四种标准方程中的任一种形式推导得出抛物线的其他三种标准方程。（图3－2－1）
2、对这四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同。（图3－2－2）
从方程、焦点、准线、图形四个方面，给出其中的任一项，给出此种抛物线的其它几项的值，进而分析开口向右、向左、向上、向下的抛物线的标准方程及图象的异同点。
(图3－2－1)
（图3－2－2）
（四）开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：
相同点：
1、原点在抛物线上；
2、对称轴为坐标轴；
3、 p值的意义：（重点）
（1）表示焦点到准线的距离；
（2）p>0为常数;
（3）p值等于一次项系数绝对值的一半；
4、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的1／4，即2p/4=p/2.
不同点：
方程
对称轴
开口方向
焦点位置
X2=2py (p>0)
x轴
向右
X轴正半轴上
X2= -2py (p>0)
x轴
向左
X轴负半轴上
Y2=2px (p>0)
y轴
向上
Y轴正半轴上
Y2= -2px (p>0)
y轴
向下
Y轴负半轴上
（五）要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p 值及抛物线开口方向；反之亦然。
（六）巩固对比练习：
1、已知方程，求焦点坐标、准线方程；（先化为标准方程）
2、已知焦点坐标，求标准方程、准线方程；
3、已知准线方程，求标准方程、焦点坐标；
四、例题讲解：
例1、先判断下列抛物线的开口方向，再写出它们的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = -14x (2) 2x2 - 5y = 0.
方法：已知抛物线的方程，求焦点及准线时——
要先判断抛物线的开口方向；根据图形及p值确定焦点及准线方程。
例2、画拱宽为2a 、拱高为h的抛物线。证明这个画法的正确性。
五、课堂练习：
1、求下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：
（1）y 2=20x (2)x 2=1/2y (3) 2y 2+5x=0 (4) x 2+8y=0
2、选择题：
对于抛物线x2=4ay(a≠0),下面的结论中正确的是（ ）
（A）若a>0,则焦点为（0，a），若a<0,则焦点为（0,- a）；
（B）若a>0,则焦点为（0，a/2），若a<0,则焦点为（0,- a/2）；
（C）焦点为（0，a）；
（D）焦点为（0，a/2）；
3、根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程及准线方程：
（1）焦点是F（0，-2）；
（2）焦点是F（3，0）；
（3）准线方程x = -1/4;
（4）焦点到准线的距离是2。
向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴
六、课堂小结：
1． 抛物线的定义，焦点、准线
2． 参数p（p>0,焦点到准线的距离）。
3． 抛物线的四种标准方程。
4． 解题
七、作业布置：
1． 已知抛物线y2 = 2px (p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>p/2),则点M到准线的距离是多少？点M的横坐标x是多少？
2． 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为y轴，推导抛物线的标准方程。
3． 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）x 2 = 2/3 y ; (2) 4x 2 +3y = 0 ; (3) 2y 2= - 5x ; (4) y 2 - 6x = 0.
五、教案二（简案）——抛物线的性质及应用
教学目标：
1、 使学生熟练掌握抛物线的几何性质——范围、顶点、离心率、对称性等，比较开口分别向右、左、上、下的抛物线的性质及异同；
2、 初步掌握有关抛物线的解题方法，培养学生分析问题、解决解题的能力；
3、 灵活运用抛物线的性质解决实际问题；初步了解抛物线的实际应用。
教学重点和难点：
重点：抛物线的有关性质及有关抛物线的解题方法。
难点：有关抛物线的解方法。
教学过程：
一、复习提问
二、新课导入
三、新课讲授
（一）性质：
1、范围；2、对称轴；3、顶点； 4、离心率。
（二）应用：
1、抛物线的平移——拱桥
2、抛物线的旋转——太阳灶、反光镜
四、例题讲解
五、课堂练习
六、课堂小结：四种抛物线性质的比较（见下表及图）：
要求学生熟练掌握开口向右、向左、向上、向下的抛物线的标准方程。教师给出各种形式的标准方程，要求学生迅速正确地说出其开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方程；反过来，教师给出各种标准位置（指顶点在原点，对称轴为x轴或y轴）的抛物线，要求学生正确说出它的标准方程的形式。
（二）、解题方法小结：
由已知条件写出抛物线的标准方程时，先要根据位置条件确定抛物线标准方程的形式，再根据数值条件求出方程中的p。
即：求抛物线的标准方程，必须确定p（焦点到准线的距离）的值及开口方向。
1、 由已知条件写出抛物线的标准方程时，先根据抛物线在坐标平面的位置条件来确定抛物线标准方程的形式，再根据数值条件求出方程中的p;
2、 已知抛物线的标准方程，求其焦点坐标、准线方程时，先确定抛物线在坐标平面的位置，再根据p值求出有关结果。
七、作业布置
六、结束语：
总之，抛物线及其标准方程这一节的教学设计，从学——思——习——行，引导学生从直观现象进一步抽象到几何性质，对比椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，最重要的是引导学生类比开口向右、向左、向上、向下四种抛物线的标准方程、图形、性质等，应用到实际问题中，对学生进行辩证唯物主义教育和数学美育教育。
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