(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+...+(1+x)^n的展开式中x^4项的系数为

Question

答案是 (n+2)C5 , 求过程

Answer 1

x^4至少从(1+x)^4开始起有

(1+x)^4中系数C(4,4)
(1+x)^5中系数C(5,4)
(1+x)^6中系数C(6,4)
......
(1+x)^n中系数C(n,4)
必须把它们加起来之和才是
展开式中x^4项的系数
∴展开式中x^4项的系数=C(4,4)+C(5,4)+C(6,4)+.......C(n,4)
这里有个公式，是教材介绍杨辉三角时添加的
C(r,r)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+...C(n,r)
=C(n+1,r+1)
证明如下
C(r,r)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+…+C(n,r)
=C(r+1,r+1)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+....+C(n,r)
=C(r+2,r+1)+C(r+2,r)+...+C(n,r)
=C(r+3,r+1)+....+C(n,r)
=C(n+1,r+1)
不需要证明，记住结论即可，但要注意是从C(r,r)开始起，即本题的C（4,4）
所以答案是C(n+1,5)
要不是你答案有错，要不就是你抄错题了，是
(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+...+(1+x)^n+1

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