在(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+......+(1+x)^2011的展开式中X^3的系数等于

Question

如题所述

Answer 1

(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+......+(1+x)^2011的展开式中X^3的系数等于(1+x)^2012的展开式中X^4的系数，即2012中取4的组合数。追问

为什么啊？

追答

相当于等比数列求和：
(1+x) (1+x)^2+(1+x)^3+......+(1+x)^2011=[(1+x)-(1+x)^2012]/[1-(1+x)]=[ (1+x)^2012- (1+x)]/x，
所以原展开式中X^3的系数等于(1+x)^2012的展开式中X^4的系数。