一个矩阵乘以一个常数,它的若当标准型如何变?

Question

如题所述

Answer 1

考虑一个矩阵M与一个非零常数c的乘积，记为cM。我们知道，矩阵M的特征值λ，经过cM操作后，变为cλ。这一变化直接导致了矩阵的史密斯标准型中特征值的倍数变化，即原来矩阵的史密斯标准型中特征值λ变为cλ。

对于若当标准型来说，其本质上是通过一系列的行变换和列变换将矩阵转化为对角矩阵，对角矩阵的对角线上的元素正是矩阵的特征值。因此，当矩阵M乘以常数c后，其若当标准型中对角线上的特征值同样会变为原来的c倍。

例如，假设一个矩阵M的若当标准型为：
\[
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}
\]
其中λ1, λ2, ..., λn是矩阵M的特征值。那么矩阵cM的若当标准型将会变为：
\[
\begin{pmatrix}
c\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & c\lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & c\lambda_n
\end{pmatrix}
\]
可以看到，新矩阵的若当标准型是将原矩阵的若当标准型中特征值都换成c倍。

综上所述，当矩阵M乘以一个非零常数c时，其若当标准型中的特征值会变为原来的c倍。这一特性在矩阵理论与线性代数中有着广泛的应用。