抛掷硬币出现正反面的几率是多少？

Question

如题所述

Answer 1

已知均匀硬币掷出正面的概率为 0.5，实际的4000次抛掷中出现正面的次数记为 X，则频率为 f = X / 4000。欲计算 P{ |f - 0.5| <= 0.01 }，这有两种方法‍可以简便地估算出近似值，还有一种方法可以计算精确值。
方法一（中心极限定理近似估算概率）：
每次掷均匀硬币出现正面的次数（0 或 1）服从期望 p = 0.5 的伯努利分布，方差为 p*(1 - p) = 0.25。根据中心极限定理，独立抛掷4000次硬币正面出现的频率 f 近似服从均值为0.5、方差为0.25/4000 的正态分布 N(0.5, 0.25/4000)；所以用正态分布的概率密度来近似估计 P{ |f - 0.5| <= 0.01 } = P{ | (f - 0.5) / √(0.25/4000) | <= 0.4 * √10 } = Φ(0.4 * √10) - Φ(-0.4 * √10) = 0.7941。

方法二（切比雪夫不等式估计概率上界）：
掷4000次硬币正面出现的次数 X 服从均值为 2000、方差为 4000 * 0.5 * (1 - 0.5) 的二项分布 B(n=4000, p=0.5)。题目所求 P{ |f - 0.5| <= 0.01} = P{ |X - 2000| <= 40 }。根据切比雪夫不等式， P{ |X - 2000| >= 40} <= 4000 * 0.5 * (1 - 0.5) / 40^2 = 0.625，所以 P{ |f - 0.5| <= 0.01} > 1 - 0.625 = 0.375。（当然这是个比较粗的估计）

方法三（二项分布精确计算概率）：

可以精确计算4000次中掷出正面次数在 2000 ± 40 范围内的概率。根据二项分布概率公式 P{X = x} = C(4000, x) * 0.5^x * 0.5^(4000-x) ，计算 P{ |X - 2000| <= 40} = P{ 1960 <= X <= 2040 } = P{X=1960} + P{X=1961} + P{X=1962} +... + P{X=2040} = 0.7997。

比较上述三种方法的结果可以看出，中心极限定理在试验次数多（这里多达4000次）的情况下，估计出的概率还是比较准确的。