有理函数如何积分?

Question

如题所述

Answer 1

有理函数积分拆项原则如下：

求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。

拆项时使用待定系数法，以分母中的一次项和无实数根的二次项，为因式分解分母，然后待定系数法求出对应的分子即可。

如果分子也为二次项（甚至更高），使用多项式长除法。从分子中分解出一个多项式，分别积分。如果分子为一次项，把分子分解成分母的导数+常数的形式。

第一部分用凑微分处理，第二部分化成arctan的形式处理。

有理函数的积分拆分方法：积分函数f(x)=(x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]，用待定系数法，设分拆成以下有理分式f(x)=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+1)^2。

通分得f(x)=[A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]=[(A+B)x^2+(2A+C)x+(A-B-C)]/[(x-1)(x+1)^2]

与原式比较，分母同，分子中x同次幂的系数必然相同，得A+B=1,2A+C=0,A-B-C=1,联立解得A=B=1/2,C=-1。

则f(x)=(1/2)[1/(x-1)+1/(x+1)]-1/(x+1)^2。

求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。