初中一次函数动点问题

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，反比例函数y=k/x在第一象限的图象经过点D．
（1）求D点的坐标，以及反比例函数的解析式；
（2）若K是双曲线上第一象限内的任意点，连接AK、BK，设四边形AOBK的面积为S；试推断当S达到最大值或最小值时，相应的K点横坐标；并直接写出S的取值范围．
（3）试探究：将正方形ABCD沿左右（或上下）一次平移若干个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上的方法．

Answer 1

(1)过D作DM⊥OA于M点
由题意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD，
又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
可证得：RT△BAO≌RT△ADM，（1分）
∵A（1，0），B（0，2），
∴DM=OA=1，AM=OB=2，
则：OM=3，D（3，1），（1分）
反比例函数解析式为：y=x/3
(2)过K分别作KH⊥BA于H，直线l∥AB
S四边形AOBK=S△BOA+S△BKA,且S△BOA=1，S△BKA=0.5×√5×KH
设直线l为：y=-2x+b 且b＞2，
∴S四边形AOBK的大小与线段HK的大小有关
要使HK最小，则直线l与双曲线y=x/3 在第一象限只有唯一交点K，
故：方程-2x+b=x/3有唯一实根，
∴2x2-bx+3=0中△=b2-24=0，
又∵b＞2，则：b=2，
∴S△BKA最小时K的坐标为(√6/2，√6)
且直线KH为：y=1/2x+3√6/4,故又得：当HK最小时，H的横坐标为：4/5-3√6/10
即S△BKA的最小值为√6-1而可知：HK无最大值；
∴S无最大值，且当K的横坐标为√6/2
(3)（3）过C作CN⊥BO于N，
可得：CN=BO=2，BN=OA=1，
∴C（2，3）
又∵函数y=x/3中，当x=2时，y=1.5；当y=3时，x=1；
把正方形ABCD向左平移1个单位或向下平移1.5个单位，
能使点C恰好移动到双曲线y=x/3上

Answer 2

(1)直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B
则A（1，0）、B（0，2）
四边形ABCD是正方形
过D作x轴的垂线并交x轴于G
△OAB≌△ADG
DG=OA AG=OB
D(3,1)
反比例函数的解析式y=k/x经过D点，k=3
反比例函数的解析式为y=3/x
(2)设k点坐标为（x，3/x）
Soakb=Sobk+Sokg-Sakg
=2*x/2+3/2-(x-1)*(3/x)/2
=x+3/2-3/2+3/(2x)
=x+3/(2x)>√6 x=3/(2x) x=√6/2
当 x=√6/2时，四边形AOBK的面积为S有最小值√6
S的取值范围：（√6，+∞）
(3)现求出C点坐标，过C作y轴的垂线交y轴于H
△OAB≌△BCH
BH=OA CH=OB
C(2，4)
假设向左平移，y=4，x=3/4
向左平移：2-3/4=5/4
将正方形ABCD向左一次平移5/4个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上

Answer 3

1.可求A(1,0)，B(0,2)
从D作x轴的垂线DE，垂足是E，则△DAE≌△BAO，
∴AE=OB=2，DE=OA=1，
∴D(3,1)
∴代入y=k/x得，k=xy=3，∴y=3/x
3.从C作y轴的垂线CF，垂足是F，则△CBF≌△BAO
∴CF=OB=2，BF=OA=1，
∴C(2,3)
在y=3/k中，令y=3求得x=1
只有将C点横坐标变成1，才会使点C落到双曲线上，
∴需要将正方形向左平移1个单位，才能满足要求。