高中数学不等式解法

Question

求一些解法，有哪些解法和一些小技巧。例如；不等式有绝对值应该先想办法去掉绝对值符合等一些小技巧。方法直接说明是：相减法就行，最好有些例子，常见的方法就行

Answer 1

高中的一般是一元二次不等式，其解法如下解法一 　　当△=b^2-4ac≥0时， 　　二次三项式，ax^2+bx+c　有两个实根，那么　ax^2+bx+c　总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。 　　这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。 　　举例： 　　试解一元二次不等式　2x^2-7x+6<0 ？ 　　解： 　　利用十字相乘法 　　2x -3 　　x　-2 　　得（2x-3)(x-2)<0 　　然后，分两种情况讨论： 　　１） 2x-3<0，x-2>0 　　得x<1.5且x>2。不成立 　　２）2x-3>0，x-2<0 　　得x>1.5且x<2。 　　得最后不等式的解集为：1.5<x<2。 　　完毕。 解法二 　　另外，你也可以用配方法解二次不等式。 　　如上例题： 　　2x^2-7x+6 　　=2(x^2-3.5x)+6 　　=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6 　　=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6 　　=2(x-1.75)^2-0.125<0 　　2(x-1.75)^2<0.125 　　(x-1.75)^2<0.0625 　　两边开平方，得 　　x-1.75<0.25　且　x-1.75>-0.25 　　x<2且x>1.5 　　得不等式的解集为1.5<x<2 解法三 　　一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。 　　通过看图象可知，二次函数图象与Ｘ轴的两个交点，然后根据题目所需求的＂＜０＂或＂＞０＂而推出答案。 　　求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式左边并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图像法进行解题，使得问题简化。 　　数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。 　　●做法:： 　　1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的)； 　　2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根； 　　3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍)； 　　4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。 　　●例如不等式: x^2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的) 　　⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0； 　　⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2； 　　⒊画数轴,并把根所在的点标上去； 　　⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸； 　　⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。 　　●高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式： 　　x(x+2)(x-1)(x-3)＞0 　　一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)＝0的根 　　x＝0，x＝1，x＝-2，x＝3 　　在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1；继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0；继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2；继续向点-2的左上方无限延伸。 　　方程中要求的是＞0， 　　只需要观察曲线在数轴上方的部分所取的x的范围就行了。 　　x＜-2或0＜x＜1或x＞3。 　　●⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位置标出来； 　　⑵“奇过偶不过”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数； 　　比如对于不等式(X-2)^2(X-3)＞0 　　(X-2)的指数是2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点， 　　而(X-3)的指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。

Answer 2

高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。 本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。
　一、高次不等式
　　1．概念：
　　形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1, x2, ……,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。
　　2．解题思路：
　　作出相应函数的图象草图。具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。
　　3．例题：
　　例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；　(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。
　　解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。
　　　　　
　　所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。
　　(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。
　　注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。

Answer 3

不等式主要问题包括：大小比较（方法有作差法，作商法，图象法，函数性质法）。证明题（比较法，反证法，换元法，综合法…）恒成立问题（判别式法，分离参数法…）具体的老师都会教

Answer 4

这不好说