狭义证明 相对论公式及证明
符号 单位 符号 单位
坐标(x,y,z):m 力F(f): N
时间t(T): s 质量m(M): kg
位移r: m 动量p: kg*m/s
速度v(u): m/s 能量E: J
加速度a: m/s^2 冲量: N*s
长度l(L): m 动能Ek: J
路程s(S): m 势能Ep: J
角速度ω: rad/s 力矩: N*m
角加速度: rad/s^2α 功率P: W
一、牛顿力学(预备知识) (一):质点运动学基本公式:(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
(注:两式中左式为微分形式,右式为积分形式)
当v不变时,(1)表示匀速直线运动。
当a不变时,(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t),它的一切运动规律就可知了。
(二):质点动力学:
(1)牛一:一切物体在没有受到力的作用时,总保持静止状态或匀速直线运动状态。
(2)牛二:物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三:作用在同一物体上的两个力,如果等大反向作用在同一直线上,则二力平衡。
(4)万有引力:两质点间作用力与质量乘积成正比,与距离平方成反比。
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
动量定理:I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
动量守恒:合外力为零时,系统动量保持不变。
动能定理:W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
机械能守恒:只有重力做功时,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注:牛顿力学的核心是牛顿第二定律:F=ma,它是运动学与动力学的桥梁,我们的目的是知道物体的运动规律,即求解运动方程r=r(t),若知受力情况,根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样,若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况。)
二、狭义相对论力学 (注:“γ”为相对论因子,γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)
1.基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。
(2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)
2.洛仑兹坐标变换:
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
3.速度变换:
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
4.尺缩效应:△L=△l/γ或dL=dl/γ
5.钟慢效应:△t=γ△τ或dt=dτ/γ
6.光的多普勒效应:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源与探测器在一条直线上运动。)
7.动量表达式:P=Mv=γmv,即M=γm
8.相对论力学基本方程:F=dP/dt
9.质能方程:E=Mc^2
10.能量动量关系:E^2=(E0)^2+P^2c^2
(注:在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的。)
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三、三维证明 1.由实验总结出的公理,无法证明。
2.洛仑兹变换:
设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。
可令
x=k(X+uT) (1).
又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数。)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K.
故有
X=k(x-ut) (2).
对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得
Y=y (3).
Z=z (4).
将(2)代入(1)可得:x=k^2(x-ut)+kuT,即
T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).
(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.
代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得:
k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换:
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
3.速度变换:
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表达式。
4.尺缩效应:
B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得:△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即:△l=γ△L,△L=△l/γ
5.钟慢效应:
由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T.
(注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量。)
6.光的多普勒效应:(注:声音的多普勒效应是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为
△t(a)=γ△t(b) (1).
探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则
△t(N)=(1+β)△t(a) (2).
相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即
ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3).
由以上三式可得:
ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
7.动量表达式:(注:dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c)
牛顿第二定律在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛顿第二定律都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dτ莫属)就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量:相对论动量。(注:我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)
8.相对论力学基本方程::
由相对论动量表达式可知:
F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛顿第二定律的形式完全一样,但内涵不一样。(相对论中质量是变量)
9.质能方程:
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
10.能量动量关系:
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得:E^2=(E0)^2+p^2c^2
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四、四维证明 1.公理,无法证明。
2.坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔,
dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).
则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔,dS^2<0称类时间隔,dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变,因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量,dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论:dS是坐标变换下的不变量。
由数学的旋转变换公式有:(保持y,z轴不动,旋转x和ict轴)
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
当X=0时,x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
得:tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得:
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
3.4.5.6.略。
7.动量表达式及四维矢量:(注:γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度。
则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量。(以下同理)
四维动量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四维力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度:ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
8.略。
9.质能方程:
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四维力与四维速度永远“垂直”,(类似于洛伦兹磁场力)
由fV=0得:γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量,且Fv=dEk/dt(功率表达式))
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2
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