不定积分|(积分号)(3-2x)^3dx有几种求法，最好把解的过程列出来

Question

如题所述

Answer 1

暂时post四种方法啦方法一：凑微分法，最快速的计法∫ (3 - 2 x)�0�6 dx
= 1 / 2 * ∫ (3 - 2 x)�0�6 d(2 x)
= - 1 / 2 * ∫ (3 - 2 x)�0�6 d(- 2 x)
= - 1 / 2 * ∫ (3 - 2 x)�0�6 d(3 - 2 x)
= - 1 / 2 * (3 - 2 x)^4 / 4 + C
= [- (3 - 2 x)^4] / 8 + C方法二：代换法∫ (3 - 2 x)�0�6 dx
令 u = 3 - 2 x
du = - 2 dx
dx = - du / 2
原式 = - 1 / 2 ∫ u�0�6 du
= - 1 / 2 * u^4 / 4 + C
= [- (3 - 2 x)^4] / 8 + C方法三：二项式展开法∫ (3 - 2 x)�0�6 dx
= ∫ [3�0�6 - 3 (3�0�5) (2 x) + 3 (3） (2 x)�0�5 - (2 x)�0�6] dx
= ∫ (27 - 54 x + 36 x�0�5 - 8 x�0�6) dx
= 27 x - 54 x�0�5 / 2 + 36 x�0�6 / 3 - 8 x^4 / 4 + C
= 27 x - 27 x�0�5 + 12 x�0�6 - 2 x^4 + C，加个(- 81 / 8)项可以因式分解，继而得到= [- (3 - 2 x)^4] / 8 + C'方法四：三角函数代换法∫ (3 - 2 x)�0�6 dx
令 √(2 x) = √3 sinθ
sinθ = √(2 x) / √3，用cosθ = √(1 - sin�0�5θ)公式
cosθ = √(3 - 2 x) / √3，这个cosθ答案要用到
x = 3 sin�0�5θ / 2
dx = 3 sinθ cosθ dθ
(3 - 2 x)�0�6=(3 - 2 * 3 sin�0�5θ / 2)�0�6
=(3 cos�0�5 θ)�0�6 = 27 [cosθ]^6
原式 = ∫ 27 [cosθ]^6 * 3 sinθ cosθ dθ
= - 81 ∫ [cosθ]^7 d(cosθ)
= - 81 * [cosθ]^8 / 8 + C
= - 81 / 8 * [√(3 - 2 x) / √3]^8 + C
= - 81 / 8 * (3 - 2 x)^(1 / 2 * 8) / 3^(1 / 2 * 8) + C
= [- (3 - 2 x)^4] / 8 + C