线性代数：证明向量组β,β+α1,β+α2,...β+αr线性无关

Question

如题所述

Answer 1

为了方便我用a代表alpha，b代表beta
设有 k0b+k1(b+a1)+k2(b+a2)+……+kr(b+ar)=0
则有(k0+k1+k2……+kr)b+k1a1+k2a2+……+krar=0 （2）
左乘A有 (k0+k1+k2……+kr)Ab+k1Aa1+k2Aa2+……+krAar=0
其中Aai(i=1,2,3……r)=0,所以(k0+k1+k2……+kr)Ab=0
又因为Ab不等于0，则k0+k1+k2……+kr=0
所以（2）式有k1a1+k2a2+……+krar=0，因为a1,a2……ar线性无关，所以ki(i=1,2……r)=0
所以k0=0
所以k0b+k1(b+a1)+k2(b+a2)+……+kr(b+ar)=0，的系数全为0，向量组线性无关