用定义求函数y=x2导数,分为以下三个步骤:一是求增量Δy,二是算比值,三是取极

Question

如题所述

Answer 1

好的，让我们用定义来求函数 y = x^2 的导数。导数可以理解为函数在某点上的变化率。
步骤一：求增量Δy
增量Δy表示在点(x, y)附近取一个微小的x增量（通常用h表示），计算对应的y的增量。也就是说，我们要计算函数在点(x, y)处的变化量。
Δy = f(x + h) - f(x)
对于 y = x^2, 增量Δy为：
Δy = (x + h)^2 - x^2
步骤二：算比值
接下来，我们将增量Δy除以对应的x的增量，得到一个比值。
比值 = Δy / h
步骤三：取极限
最后一步是求极限，即让微小的x增量 h 趋向于零。这将给我们导数的定义。
dy/dx = lim(h→0) (Δy / h)
现在我们将以上步骤应用到 y = x^2 :
1. 求增量Δy:
Δy = (x + h)^2 - x^2
Δy = x^2 + 2xh + h^2 - x^2
Δy = 2xh + h^2
2. 算比值:
比值 = Δy / h
比值 = (2xh + h^2) / h
比值 = 2x + h
3. 取极限:
dy/dx = lim(h→0) (2x + h)
dy/dx = 2x
所以，函数 y = x^2 的导数是 dy/dx = 2x。