如何解非齐次线性方程组？

Question

如题所述

Answer 1

非齐次方程组是否有唯一解与其所对应的矩阵的行列式是否为0相关。设非齐次矩阵为A，解向量为x，常数向量为b，则非齐次方程组可以表示为Ax=b。当A的行列式不等于0时，即det(A)≠0时，方程组有唯一解。因为如果A的行列式为0，则其行列式的余子式不全为0，即存在一个非零的n维向量k，满足Ak=0。这时，如果方程组有解，则必然存在一个解x0，使得Ax0=0，但同时根据Ax=b，有A(x0+x)+Ak=b，即A(x0+x)=b，于是x也是解，且有x=x0+k。这说明在det(A)≠0时，方程组的解是唯一的。
进一步来说，设n阶方阵A的行列式为det(A)，则当det(A)≠0时，A是可逆的；当det(A)=0时，A是奇异的。因此，在非齐次线性方程组Ax=b中，如果A可逆，则由A(x0+x)=b得到唯一解x=A^-1b；如果A奇异，则由A(x0+x)=b得到的解集S={x0+k|Ak=0}是一个向量空间，其维数等于n-r(A)，其中r(A)为A的秩。
需要注意的是，当det(A)=0时，方程组可能无解，也可能有无限多组解。这时，可以通过高斯-约旦消元、高斯-若尔当消元、矩阵的秩以及其它方法解决问题。当方程组无解时，常用最小二乘法求解；当方程组有无限多组解时，可以通过参数化的方式写出解的通式。
综上所述，非齐次方程组有唯一解的条件是其系数矩阵的行列式不等于0；当系数矩阵的行列式等于0时，方程组可能无解，也可能有无限多组解。