请问达人，什么是L2空间？什么是H1空间？

Question

如题所述

Answer 1

对于任意可测集E，如果函数f的平方在E上的积分是有限的，则称f属于L2(E)。换言之，L2(E)就是在E上平方积分有限的函数的全体。
类似可以定义Lp空间(p>0)，将上文中的平方换成绝对值的p次方就可以了。

为了定义H1空间，先要定义两个概念。
设D是一个区域（n维）。

定义1：按L2(D)收敛
如果当m趋于无穷时，Um-U的完全平方在D上的积分趋于0，我们就说Um按L2(D)收敛于U。

定义2：强广义微商
设U属于L2(D)，如果存在序列{Um}（Um不一定属于L2(D)，但是每个Um在D的闭包上都有连续导函数），Un满足：Um按L2(D)收敛于U，并且Um对每一个坐标分量xi（n维的就是x1,x2,...,xn）的偏导数都按L2(D)收敛于vi（新的函数），那么就称U关于x=(x1,x2,...,xn)有一阶强广义微商。且U关于xi的强广义微商等于vi。

那么我们可以定义H1空间了。
H1空间：
设D是一个区域（n维），那么H1(D)表示属于L2(D)、具有所有的（n个）一阶强广义微商、并且强广义微商也属于L2(D)的一切函数组成的空间。它也称为索博列夫空间。

在以上定义中，L2和H1都是和区域D（E）有关的。离开了区域的限制，空谈什么是L2和H1是没有意义的——这就像是说一个人身高1米75，他是否是高个子一样。