椭圆怎么分析

Question

如题所述

Answer 1

椭圆周长=圆周率*(a+b) (其中a,b为椭圆的两个半轴长)

标准方程
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的准线方程
x=+-a^2/C
椭圆焦半径公式
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex求曲线方程的一般步骤及要点是

建系、列式、化简、证明。

第一步骤“建系（建立坐标系）”在实际问题中有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等。

第二步是最重要的一环，须仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程。在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。

第三步，在化简过程中，要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”。

对于第四步，中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明。例如，根据题意，某些点虽然其坐标满足方程，但却不在所求曲线上，那么可通过限制x、y的取值范围把它删除掉。

5．例题解析

例1 求经过定点A（2，0），且与定直线x=-2相切的动圆圆心P的轨迹方程。

解如图易知，动点到定点的距离与到定直线的距离相等，根据圆锥曲线的定义可知，动点轨迹是抛物线y2=2px,其中，p＝4，所以，所求P点轨迹方程是y2=8x。

例2 （1992年全国高考题）焦点为F1（－2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是______________

解 由两焦点知双曲线的中心为（2，0），c=4,c/a=2,a=2,b2=12，

∴所求曲线方程是。

例3 （1993年全国理科题）动圆与定圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）

A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆

解 由条件设O：x2+y2=1，r1=1；M：(x-2)2+y2=4，r2=2，M（2，0），设动圆圆心为P（x,y），半径为r,则有, ,

∴,

根据双曲线的定义，动圆圆心轨迹是双曲线的一支。故选C。

例4 在双曲线的上支有不同三点A(x1,y1),C(x2,y2),B(,6)到焦点F（0，5）的距离成等差数列，求y1+y2的值。

解 ∵，∴双曲线的准线为m:y=5/12,

作AA1⊥m于A1则, ∴,

同理：,

∵,

∴ 2,

∴y1+y2=12。

说明 1〕以上四例都是根据圆锥曲线的定义求解，这是求圆锥曲线方程最重要的解法之一，其中例3和例4分别使用了第一和第二定义，实际上，凡题目中出现“焦半径（焦点与曲线上点的连线）”，就应考虑使用圆锥曲线的定义，若还有“准线”出现，则就一定会用到第二定义。

2〕动圆与定圆相切的问题，要连接两圆心（平面几何常用辅助线），寻找圆心距间的关系，其轨迹往往是抛物线、椭圆或双曲线中的一种，在这一点上例3比较有代表性。

例5 与双曲线有相同渐近线，且经过点A（2，－3）的双曲线的方程是______________.

解 设所求双曲线方程是,

∵点A在双曲线上，∴

∴双曲线方程是：

说明 本题考查待定系数法、共渐近线系的双曲线方程的应用。

例6 （1997年全国高考题）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

A． B．

C． D．

分析 设所求椭圆C上任一点M(x,y)，易知M关于直线x+y=0的对称点在已知椭圆上，可得椭圆C的方程。

解 设椭圆C上任一点M(x,y)，利用M关于直线x+y=0的对称点为M’(-x,-y),由题意可知，M’是已知椭圆上的点。

∴所求方程为 即 ，

故选A。

例7 (1990年广东题)一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( ).

A.( x+3)2+y2=4 B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+3/2)2+y2=1/2

解 如图，设M为圆上任意一点，

定点为A (3,0),连AM，设AM中点为N,OA中点为C(3/2,0)，

则CN=1/2，于是N到C的距离为定长1/2，

其轨迹方程为(x-3/2)2+y2=1/4,即(2x-3)2+4y2=1，

因此选C。

说明 例8例9解法为几何法，即当题目中出现圆、平行四边形等等平面图形时，应充分利用它们的几何性质，寻找所求动点满足的几何条件去建立等量关系，在此题中此法比使用其他方法简便。

例8 已知定点A（3，0），P是单位圆x2+y2=上的动点，∠AOP的平分线交PA于M，求M点的轨迹方程。

解 如图，设M、P的坐标分别是(x,y)及(x。，y。)

由三角形角平分线的性质得。

,即

∴
x= xo=,

y= yo=

∵xo2+yo2=1, ∴M点的轨迹方程是()2+()2=1,

即M ：(x-+y2=.

说明 本题解法为代入法，即利用所求轨迹上的动点坐标x和y表示出已知曲线上的动点坐标xo和yo，再代入已知曲线方程就可得到所求轨迹的方程，这也是求圆锥曲线方程使用率很高的方法。

例9 方程ax2+bx+c=0(a.b.c∈R,a≠0)的判别式的值等于1，两根之积为常数k(k≠0)，求点（b，c）所表示的曲线方程。

解 根据题意有
b2-4ac=1,

消去a得，b2-4 即b2-。

∴点（b,c）所在曲的线方程是x2-。

说明 本题解法为参数法。

例10（1993年高考题）在面积为1的⊿PMN中，tg∠PMN＝1/2，tg∠MNP=－2。建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程。

解 如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，

设以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程为,焦点为M（－c,0）、N(c,0)。

由tg∠PMN=1/2, tg=(∠PMN)=2得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c),

联立两方程解得x=,y=,即P点坐标为（,），

故S⊿PMN＝

由条件SΔPMN＝1得c=,即P点坐标为（），

代入椭圆方程得,化简得3b4-8b2-3=0,

解得b=,a2=b2+c2=3+=.

所以，所求方程为.

例11 （1998年全国高考题）如图，直线l1和l2相交于点M，电Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等，若⊿AMN为锐角三角形，＝，＝3，且＝6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程。

解 如图，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，根据题意，曲线段C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段。

设曲线C的方程为y2=2px (p>0),(xAXxB,y>0), 其中xA, xB分别为A、B的横坐标，p=。

∴M(-p/2,0)，N(p/2,0)。

由＝，＝3得

（xA＋p/2）2+2p xA=17┄①,

（xA-p/2）2+2p xA =9 ┄② .

联立①②解得xA＝p/4, 代入①式并由p>0解得p=4, xA=1;或p=2，xA=2。

∵⊿AMN是锐角三角形，∴p/2> xA，故舍去p=2，xA=2。

由点P在曲线段C上，得xB=－P/2＝4。

综上得曲线段C的方程为 y2=8x(1≤x≤4, y>0).

说明 以上两例主要考查根据所给条件选择适当坐标系，（利用待定系数法）求曲线方程的解析几何的基本思想，考查椭圆与抛物线的概念和性质、曲线与方程的关系以及综合应用知识的能力。

6．小结

求圆锥曲线的方程（含轨迹）是解析几何的基本内容，必须把握好各种方法在什么情况下使用，适当选择解法、适当选择坐标系、合理充分地利用数形条件建立等式关系是解决此类问题的基本功。解题的主要规律可以概括为：“曲线定义要记清,数形关系须探明,一定选好坐标系，方法合理过程畅。选参、引参用好参，代入消元巧转换，待定系数为常法，列出等式是关键，理清关系思路开，一点破译全局活。”

7．复习题

1) 已知⊿PAB周长为16，其中A（－3，0），B（3，0），求动点P的轨迹。

2) 已知椭圆的长轴是短轴的两倍，且过点（3，0），则其标准方程是______。

3) 已知直线n:y=x+3与双曲线4x2-y2=1，如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆，使椭圆与n有公共点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。

4) 已知圆A：(x+2)2+y2=1与定直线m:x=1，动圆P和圆A外切且与直线m相切，求动圆P的圆心的轨迹方程。（答：y2=-8x）

5) 已知双曲线的虚轴长、实轴长和焦距成等差数列，且以y轴为右准线，经过定点P（1，2），求双曲线右焦点的轨迹方程。