数学教材解析选修2-1，41页知识点一，关于椭圆的第二定义，见补充

Question

我的问题是：为什么平面内到一个定点F的距离与到一条直线l的距离之比为常数的点的轨迹就是椭圆，为什么这样画出来就是椭圆的形状？

Answer 1

这个要综合考虑的.
圆锥曲线的第二定义在极坐标系下更容易理解.
椭圆是圆锥曲线的一种, 如果你注意的话,课本上椭圆,双曲线,抛物线是在同一章里面讲的.一般来说, 圆锥曲线就包括这三种, 实际上还有另外的情形,分别是一个点, 圆,两条相交直线,一条直线.
对于圆锥曲线的第二定义,最重要的部分是比例常数e, 根据e的范围来区分该轨迹的形状.
即: 0<e<1为椭圆
e=1为抛物线
e>1为双曲线.
在极坐标系下,上面三种曲线的表达式是一样的, 不一样的地方就是e.
极坐标表达式:
ρ=ep/(1-ecosθ）
p为动点到定直线的距离,e为离心率,通过限定e的范围,就可以分别得到上面的三种曲线.追问

你好，可是没学极坐标啊，另外，想问为什么画出来就是椭圆那个形状？为什么画出来是那样？

追答

那个形状是本身就那样,不是你画出来的.
极坐标在现在的高中数学中好像是选修内容吧.
当然为了容易理解,你可以自己通过几个特殊点来画一下.

具体的更一般的内容需要解析几何中二次曲线的一般理论的内容来支撑,到时候,可以判定任意的二次曲线ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0,a,c不同时为0,在系数不同的情况下所表示的具体图形的形状.现行的高中教材不涉及这部分内容.

追问

你好，但自己无法画呀，怎么画出到一个定点F的距离与到一条直线l的距离之比为常数的点的轨迹呢？就是画不出，才觉得为什么画出来是椭圆那个形状呢？

追答

这个可以不用坐标系的. 尺规作图即可.
1), 在平面上任意画一直线l;
2), 任选直线外一点F;
3), 过F作FM⊥l,垂足为M. 为了简便, 取e=1/2;
4), 选择任意长度d,(虽说任意,但别太长,太长有可能找不到后面将要说的交点,建议选择的d<10|FM|), 在直线l上选择一点,以d为半径画圆(可以只画出F点一侧的部分),;
5), 以F为圆心,以d/2为半径画圆, 两个圆的交点为P,(如果没有交点,将d选择的小一点再重复上面的步骤);
6), 重复以上步骤.
一般来说,步骤6重复的次数越多,图形越明显.建议作出8个点,然后连接即可.