四个矩阵组成的矩阵如何算行列式？

Question

如题所述

Answer 1

这是反对角线的分块矩阵。
行列式=
(-1)^(n*(n-1)/2)*| A(A^T)|
不作证明，解释如下：
把最后一行移到第一行，改变符号（n-1）次，n-1行移到第二行改变符号n-2次，依此就是改变符号（1+2+...+n-1）=n(n-1)/2,副对角变为主对角行列式了。
假定A的所有特征值为λ1,λ2,…λn.
则A(A^T)的特征值为：
λ1^2, λ2^2,…λn^2.
因为A为可逆矩阵，则λi≠0.
显然，所有特征值均＞0.
则| A(A^T)|>0
而对于(-1)^(n*(n-1)/2)
当n=4k,4k+1时，其值为1,
当n=4k+2,4k+3时，其值为-1.
针对第一种情况，这使得原题行列式的值可能全为正，为正定矩阵。
针对第二种情况，可能有正有负，二次型中可能含有负惯性指数。
所以，其二次型是不定二次型